0676

678

XIV. Całki zależne od parametru

Jeżeli w całce K przyjmiemy y = -i-, ot = -|—1, fi = i podstawimy x = t¹, to otrzymamy całkę

(o, 6 > 0).

Dla 6 = 1 — a dostajemy stąd ciekawą całkę

f-077^7-“"

Omówione przykłady wystarczają na to, aby pokazać, jak dalece rozszerzyły się nasze możliwości przedstawiania całek za pomocą wzoru skończonego dzięki wprowadzeniu funkcji T⁷. Nawet w tych przypadkach, kiedy wzór skończony zawiera jedynie funkcje elementarne, otrzymanie tego wzoru jest ułatwione przez posługiwanie się funkcją /'choćby tylko w rachunkach pośrednich.

540. Wzór Stirlinga. Zajmiemy się teraz wyprowadzeniem dogodnych wzorów przybliżonych dla ln r (o) i obliczeniem wartości tego logarytmu oraz samej funkcji Z⁷.

Za punkt wyjścia przyjmiemy wzór (24) dla pochodnej logarytmicznej funkcji i⁷:

Dinr(a) = f

o

Wyrażenie podcałkowe jest funkcją ciągłą obu argumentów x i o, dla x>0 i o>0 (dla x = 0można się o tym przekonać rozwijając w szereg), a dla x = oo całka jest zbieżna jednostajnie względem a dla a>a_o>0 — majorantą jest

e~^x ,    e~*o*

x \—e~^x

Można zatem scałkować pod znakiem całki względem o w granicach od 1 do a:

ln r(o) = J [(o-l) e-* - ^g~*~_g^g_~‘-] (o > 0).

0

Zmieniając znak zmiennej całkowania przejdźmy do przedziału (— oo. 0>

(35)    ln r(o) =    -(«-!)«*]—.

—CO

Również ta całka jest zbieżna jednostajnie przy x = — oo dla 0<a_o<a<A< + ca\ scałkujmy więc ponownie pod znakiem całki względem a w przedziale od a do o-fl:

*_M(«-i)■-\r-

a    -co

(36)