0678

680

XIV. Całki zależne od parametru

Jeżeli użyjemy tu symbolu n-tej liczby Bemoulliego [449]

(4°)

to znalezioną sumę będziemy mogli napisać tak:

(-ly-¹—&--**•-¹.

^V r 2(2¹)!

* r

Obliczymy teraz sumę pozostałych składników, z których każdy ma czynnik postaci    +

będący dodatnim ułamkiem właściwym. Dodając je otrzymujemy wyraz

B_m+i .«¹■

^{1 U} 2(2m+2)!    ¹    '

gdzie Sjest również dodatnim ułamkiem właściwym.

Funkcję /(¹) możemy zatem przedstawić następująco:

^m-it-- ir¹'⁺f-**--<»<¹<')■

Podstawmy to wyrażenie do (36) i scałkujmy wyraz za wyrazem. Ponieważ

f e^,xx¹’dx - f e-¹x^2,dx = JSsil J    J    /.¹«+»

oraz

j e^1x• §• x^lmdx = S / e^1xx^lmdx = 0-

2wi!

a¹«+»

(0 < S < 1) (¹),

więc ostatecznie

o (a) = JL. . i---Si---L + Jb---1--... +(_!)■-»-is---1— +

^W 1¹2 a 3-4 a³ 5-6 o⁵    '    ¹    {2m-l)2m    o²—¹

+(— 1)"0 -

(O<0< 1).

1

(2m+l)(2m+2)    o²-^¹

Podstawmy wreszcie ten wynik do wzoru (39) zamiast a> (a); otrzymamy wzór

(41) ln r(a) = ln    + la- -U ln a-a+    . _L + ...

\    2/    1-2 a 3-4    «¹

... +(-ir-¹    '-¹?■,----^-_r+(-l)"S    ■■.■—i— (0<S<1)

(2/n—1) 2m a²"-¹    (2m+l) (2m+2)    a²“⁺¹

noszący nazwę wzoru Stirlinga.

1

Zwracamy uwagę, że 9 zależy od x, natomiast 0 nie zależy.