0582

584

XIV. Całki zależne od parametru

18) Podamy jeszcze przykłady całek, w których nie można zmienić kolejności całkowania:

-Z-*- _dy~ . _ (x+y)^{2 r} 2

» M/*/ ^y_* ^J- ¹

(b)

I * / (£ - -^)- - T ■ / * j (£ -^) r'"* - - 7 ⁺1 ■

W tych przypadkach założenia odpowiednich twierdzeń nie są oczywiście spełnione — funkcja podcałkowa jest nieciągła w punkcie (0, 0) (*)•

512. Dowód Gaussa podstawowego twierdzenia algebry. Korzystając z twierdzenia 4 Gauss podał bardzo interesujący dowód podstawowego twierdzenia algebry.

Twierdzenie to orzeka, że:

Każdy wielomian

f(x) = x*+a, A^“^ł+ ... +a„

o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty lub zespolony. Weźmy x = r (cos 0+i sin 0); wówczas

x* = r*(cos kO+i sin kO)

oraz

f{x) = P+Qi,

gdzie

P — r"cos n$+ ..., Q — r"sin nO-f ...

Nie napisane wyrazy zawierają tylko niższe potęgi r; wyrazy nie zawierające r są po prostu stałe.

Twierdzenie będzie oczywiście udowodnione, jeżeli wykażemy, że suma P²+Q² jest równa zeru dla pewnego układu wartości r i 0.

Wprowadźmy pomocniczą funkcję

U = arc tg —,

i obliczmy jej pochodne

8U

dr

dr

dr

P*+Q²

dU

00

^_G-piG-80 ^v 86 P²+Q²

Widać, że

d²U ₌ H (r, 0)    .

drdO (P²+Q²)² ’

gdzie tf (r, 0) jest funkcją ciągłą zmiennych r i 0; dokładne wyrażenie tej funkcji nie jest nam potrzebne.

(') Dla całki (b) funkcję podcałkową można zrobić ciągłą poza punktem (0, 0) przyjmując jej wartość równą zeru dla y = 0 (i x#0).