0570

572

XIV. Całki zależne od parametru

podczas gdy

/ dxffdy- - iir.

0 o

509. Przypadek gdy granice całki także zależą od parametru. Rozpatrzmy teraz bardziej złożony przypadek, kiedy nie tylko wyrażenie podcałkowe zawiera parametr, ale i granice całki też od niego zależą.

W tym przypadku całka ma postać

fi(y>

(14)    iW= / f(x,y)dx.

«(y)

Ograniczymy się do badania ciągłości i różniczkowalności takiej całki względem parametru.

Twierdzenie 5. Jeżelifunkcja f (x, y) jest określona i ciągła w prostokącie <a, b\ c, d}, a krzywe

* = <* 00, x = fi(y) (c<y<d)

są ciągle i. nie wychodzą poza ten prostokąt, to całka (14) jest funkcją ciągłą parametru y w przedziale <c, d}.

Niech y₀ będzie dowolną wartością y; całkę (14) można napisać w postaci

fi (yo)    fi Cr)    «(y)

(15)    /(>’)= / f(x,y)dx+ j f(x,y)dx- J f(x, y) dx.

« (yo)    fi (yo)    « (ro)

Na podstawie twierdzenia 2 pierwsza całka, w której granice są już stałe, dąży dla y -* y₀ do całki

fi (yo)

I (yo) = f f(x, y₀) dx .

«(yo)

Pozostałe dwie całki można oszacować następująco:

fi (y)

| / f(x,y)dx\^M-\li(y)-P(y₀)\,

fi (ł’o)

«<y)

| f f(x, >■) dx| < M |a (y)-a (y₀)|.

«(yo)

gdzie M = max |/(.v, y)|. Wobec ciągłości funkcji a. (y) i p (y) dążą one do zera, gdy y -* y₀. Tym samym

lim / (y) = / (y₀),

y-yo

co dowodzi twierdzenia.

Twierdzenie 6. Jeżeli oprócz założeń twierdzenia 5 przyjmiemy jeszcze, że funkcja f(x, y) ma w prostokącie (a, b;c,d> ciągłą pochodną f’_y (x, y) i że istnieją pochodne a'(y) i P'(y), to całka (14) będzie miała pochodną względem parametru, wyrażającą się wzorem fiin

J'(y) = i fy(x, y) dx + P’(y)f (fi (y), y)-z'(y)f (a (y), y).

«(y)

(16)