0596

0596



598


XIV. Całki zależne od parametru

Twierdzenie powyższe pozostaje oczywiście prawdziwe, gdy wszystkie wyrazy szeregu są ujemne. Przypadek ten sprowadza się do poprzedniego po prostu przez zmianę znaku.

519. Przykłady

1) Za pomocą rozwinięcia w szereg obliczyć całki

(a) f    dx, (b) f dx.

J x    J 1—x

o    o

Rozwiązanie, (a) Rozwijamy funkcję podcałkową w szereg

Ind—jt) _ j__x_    x2    a-3

x    2    3    4    "

którego wszystkie wyrazy mają znak minus. Zbieżność przestaje być jednostajna w otoczeniu punktu x = 1. Punkt ten jest dla sumy szeregu punktem osobliwym, mimo to w przedziale <0,1 > suma jest całkowalna. Powołując się na ostatnie twierdzenie poprzedniego ustępu całkujemy wyraz za wyrazem

O    Urn-t    3    Itml

[patrz 440, (4)].

(b) Druga całka przez podstawienie x =* I —z sprowadza się do pierwszej. Mimo to obliczymy ją dla wprawy niezależnie, rozwijając w szereg funkcję 1/(1—x):

-!!!*-=* V y |n *.

1 —jc    ^

n-0

Wszystkie wyrazy tego szeregu są znowu ujemne. Zbieżność przestaje być jednostajną w pobliżu dwóch punktów: x = 0 i .v = I. Wobec tego stosujemy dwukrotnie ostatnie twierdzenie — oddzielnie do przedziałów <0, -j-> i <i-, 1>. Ostatecznie

2) (a) Obliczyć sumę szeregu

i—A + A + J-- ....

3    5    7    9 II


o-— H--

korzystając z tego, że

—(n= 0,1,2,...).

2»+l J

Rozwiązanie. Mamy

CO    1    1    00    1

a— ^ (-1)" J (x*"+x‘t+2) dx - j (—1)-jc4"(1 +.r2) dx = J    dx >

0    0    0    0    o

Chociaż suma szeregu nie ma osobliwości, jednak zbieżność przestaje być jednostajna w pobliżu punktu jc = I.

Ponieważ dla sum częściowych szeregu zachodzą nierówności

0 < g (-l)V'(l-Uł) = l±gl(l+.v2) < 2-j±£ < 4 ,


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
610 XIV. Całki zależne od parametru Twierdzenie 2. Niech funkcja f(x,y) będzie określona i ciągła ja
578 XIV. Całki zależne od parametru Łatwo jest sprawdzić, że założenia twierdzenia 3 są tu spełnione
612 XIV. Całki zależne od parametru Łatwo jest również otrzymać uogólnienia twierdzeń 2* i 3* z ustę
642 XIV. Całki zależne od parametru 528. Całkowanie pod znakiem całki. Prawdziwe jest tutaj twierdze
564 XIV. Całki zależne od parametru Konieczność. Jeżeli /(x, y) dąży jednostajnie do <p (x), to d
566 XIV. Całki zależne od parametru równość (4). Ustalmy wartości y i y spełniające warunki (5), a
568 XIV. Całki zależne od parametru Na przykład, nie oblicząjąc całek J In (x2+y2)dx, O widzimy od
570 XIV. Całki zależne od parametru Łatwo jest sprawdzić te wyniki obliczając bezpośrednio
572 XIV. Całki zależne od parametru podczas gdy / dxffdy- - iir. 0 o 509. Przypadek gdy granice całk
574 XIV. Całki zależne od parametru niewłaściwym) w przedziale <a, bj. W ten sposób można wyłożon
576 XIV. Całki zależne od parametru można znalezione wyrażenie dla / napisać w postaci /= V(-1)*
580 XIV. Całki zależne od parametru Oczywiście wystarczy sprawdzić, że każda z tych funkcji z osobna
582 XIV. Całki zależne od parametru Ponieważ /„(<?) = 0, więc X /« + iU)=
584 XIV. Całki zależne od parametru 18) Podamy jeszcze przykłady całek, w których nie można zmienić
586 XIV. Całki zależne od parametru§ 2. Zbieżność jednostajna całek 513. Definicja całki zbieżnej
588 XIV. Całki zależne od parametru 515. Warunki dostateczne zbieżności jednostajnej. Podamy teraz p
590 XIV. Całki zależne od parametru 516. Drugi przypadek zbieżności jednostajnej. Rozpatrzmy teraz
592 XIV. Całki zależne od parametru 3) Dowieść bezpośrednio, że całkaf Are-"^dx J v3 dla
594 XIV. Całki zależne od parametru 12) Wykazać to samo dla całki f 8jc3yJ (x* -8 xy3 dx. Tutąj

więcej podobnych podstron