0596
XIV. Całki zależne od parametru
Twierdzenie powyższe pozostaje oczywiście prawdziwe, gdy wszystkie wyrazy szeregu są ujemne. Przypadek ten sprowadza się do poprzedniego po prostu przez zmianę znaku.
519. Przykłady
1) Za pomocą rozwinięcia w szereg obliczyć całki
(a) f dx, (b) f dx.
J x J 1—x
o o
Rozwiązanie, (a) Rozwijamy funkcję podcałkową w szereg
Ind—jt) _ j__x_ x2 a-3
x 2 3 4 "
którego wszystkie wyrazy mają znak minus. Zbieżność przestaje być jednostajna w otoczeniu punktu x = 1. Punkt ten jest dla sumy szeregu punktem osobliwym, mimo to w przedziale <0,1 > suma jest całkowalna. Powołując się na ostatnie twierdzenie poprzedniego ustępu całkujemy wyraz za wyrazem
O Urn-t 3 Itml
[patrz 440, (4)].
(b) Druga całka przez podstawienie x =* I —z sprowadza się do pierwszej. Mimo to obliczymy ją dla wprawy niezależnie, rozwijając w szereg funkcję 1/(1—x):
-!!!*-=* V y |n *.
1 —jc ^
n-0
Wszystkie wyrazy tego szeregu są znowu ujemne. Zbieżność przestaje być jednostajną w pobliżu dwóch punktów: x = 0 i .v = I. Wobec tego stosujemy dwukrotnie ostatnie twierdzenie — oddzielnie do przedziałów <0, -j-> i <i-, 1>. Ostatecznie
2) (a) Obliczyć sumę szeregu
i—A + A + J-- ....
3 5 7 9 II
o-— H--
korzystając z tego, że
—(n= 0,1,2,...).
2»+l J
Rozwiązanie. Mamy
CO 1 1 00 1
a— ^ (-1)" J (x*"+x‘t’+2) dx - j (—1)-jc4"(1 +.r2) dx = J dx >
0 0 0 0 o
Chociaż suma szeregu nie ma osobliwości, jednak zbieżność przestaje być jednostajna w pobliżu punktu jc = I.
Ponieważ dla sum częściowych szeregu zachodzą nierówności
0 < g (-l)V'(l-Uł) = l±gl(l+.v2) < 2-j±£ < 4 ,
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
610 XIV. Całki zależne od parametru Twierdzenie 2. Niech funkcja f(x,y) będzie określona i ciągła ja578 XIV. Całki zależne od parametru Łatwo jest sprawdzić, że założenia twierdzenia 3 są tu spełnione612 XIV. Całki zależne od parametru Łatwo jest również otrzymać uogólnienia twierdzeń 2* i 3* z ustę642 XIV. Całki zależne od parametru 528. Całkowanie pod znakiem całki. Prawdziwe jest tutaj twierdze564 XIV. Całki zależne od parametru Konieczność. Jeżeli /(x, y) dąży jednostajnie do <p (x), to d566 XIV. Całki zależne od parametru równość (4). Ustalmy wartości y i y spełniające warunki (5), a568 XIV. Całki zależne od parametru Na przykład, nie oblicząjąc całek J In (x2+y2)dx, O widzimy od570 XIV. Całki zależne od parametru Łatwo jest sprawdzić te wyniki obliczając bezpośrednio572 XIV. Całki zależne od parametru podczas gdy / dxffdy- - iir. 0 o 509. Przypadek gdy granice całk574 XIV. Całki zależne od parametru niewłaściwym) w przedziale <a, bj. W ten sposób można wyłożon576 XIV. Całki zależne od parametru można znalezione wyrażenie dla / napisać w postaci /= V(-1)*580 XIV. Całki zależne od parametru Oczywiście wystarczy sprawdzić, że każda z tych funkcji z osobna582 XIV. Całki zależne od parametru Ponieważ /„(<?) = 0, więc X /« + iU)=584 XIV. Całki zależne od parametru 18) Podamy jeszcze przykłady całek, w których nie można zmienić586 XIV. Całki zależne od parametru§ 2. Zbieżność jednostajna całek 513. Definicja całki zbieżnej588 XIV. Całki zależne od parametru 515. Warunki dostateczne zbieżności jednostajnej. Podamy teraz p590 XIV. Całki zależne od parametru 516. Drugi przypadek zbieżności jednostajnej. Rozpatrzmy teraz592 XIV. Całki zależne od parametru 3) Dowieść bezpośrednio, że całkaf Are-"^dx J v3 dla594 XIV. Całki zależne od parametru 12) Wykazać to samo dla całki f 8jc3yJ (x* -8 xy3 dx. Tutąjwięcej podobnych podstron