0592
XIV. Całki zależne od parametru
12) Wykazać to samo dla całki
Tutąj całka
dla y = ij jest równa —1/»;.
13) Udowodnić, że całka
J e-x, S2H-dx (0 < a < 1)
'o
w punktach x = 0 i x = oo jest zbieżna jednostajnie względem y dla y >0.
Dla x = 0 wynika to od razu z istnienia mąjoranty 1/**, a dla x = oo ze zbieżności całki
[476 i uwaga końcowa z ustępu 315].
14) Niech/(/) będzie funkcją ciągłą dla f >0. Jeżeli całka
/ tlmdt
o
jest zbieżna dla A = * i A = /J {x<fS), to jest ona też zbieżna dla wszystkich wartości A z przedziału (ot, 0) i przy tym jest jednostajnie zbieżna względem A w punktach t = 0 i t = oo.
i
Dowód. Całka J r*/0) dr jest zbieżna, a rA_*jest dla wartości A>ot funkcją monofoniczną zmień-
o i
nej r i jest ograniczona przez 1. Wobec tego całka
i i
/ f V(0 * = / tx~'-taf(t)dt
O o
jest dla tych wartości A zbieżna jednostajnie przy t = 0. Analogicznie można się przekonać o tym, że całka
i i
jest zbieżna jednostąjnie względem A dla A</? przy t = oo. 13) Dowieść, że całka
J (0 < a < 1)
o
jest przy x = oo zbieżna jednostajnie dla y>yo>0, a nie jest zbieżna jednostajnie, gdy y jest ograniczone tylko nierównością y>0.
Pierwszą część tego twierdzenia można by było otrzymać za pomocą kryterium 3° z ustępu 515, ponieważ dla dowolnych A>0 i y>y0 jest
oo funkcja 1/jc* dąży do zera malejąc monofonicznie.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
618 XIV. Całki zależne od parametru Aby wykazać, że mieliśmy prawo zmienić kolejność całkowania568 XIV. Całki zależne od parametru Na przykład, nie oblicząjąc całek J In (x2+y2)dx, O widzimy od630 XIV. Całki zależne od parametru jest funkcją ciągłą argumentu k dla &<1, a całka f dk ~648 XIV. Odki zależne od parametru Pomnóżmy teraz obie strony tej równości przez ta 1 i scałkujmy wz564 XIV. Całki zależne od parametru Konieczność. Jeżeli /(x, y) dąży jednostajnie do <p (x), to d566 XIV. Całki zależne od parametru równość (4). Ustalmy wartości y i y spełniające warunki (5), a570 XIV. Całki zależne od parametru Łatwo jest sprawdzić te wyniki obliczając bezpośrednio572 XIV. Całki zależne od parametru podczas gdy / dxffdy- - iir. 0 o 509. Przypadek gdy granice całk574 XIV. Całki zależne od parametru niewłaściwym) w przedziale <a, bj. W ten sposób można wyłożon576 XIV. Całki zależne od parametru można znalezione wyrażenie dla / napisać w postaci /= V(-1)*578 XIV. Całki zależne od parametru Łatwo jest sprawdzić, że założenia twierdzenia 3 są tu spełnione580 XIV. Całki zależne od parametru Oczywiście wystarczy sprawdzić, że każda z tych funkcji z osobna582 XIV. Całki zależne od parametru Ponieważ /„(<?) = 0, więc X /« + iU)=584 XIV. Całki zależne od parametru 18) Podamy jeszcze przykłady całek, w których nie można zmienić586 XIV. Całki zależne od parametru§ 2. Zbieżność jednostajna całek 513. Definicja całki zbieżnej588 XIV. Całki zależne od parametru 515. Warunki dostateczne zbieżności jednostajnej. Podamy teraz p590 XIV. Całki zależne od parametru 516. Drugi przypadek zbieżności jednostajnej. Rozpatrzmy teraz592 XIV. Całki zależne od parametru 3) Dowieść bezpośrednio, że całkaf Are-"^dx J v3 dla596 XIV. Całki zależne od parametru n-* co dąży jednostajnie do <p(x) = 0 w całym przedziale <więcej podobnych podstron