0592

594

XIV. Całki zależne od parametru

12) Wykazać to samo dla całki

f 8jc³y

J (x*

-8 xy³

dx.

Tutąj całka

f8x*y

J (x*

r⁸.^ dx--

(*^J+y^ł)^a

^4r>²y

tf+y*)¹

dla y = ij jest równa —1/»;.

13) Udowodnić, że całka

J _e-x, S2H-dx (0 < a < 1)

'o

w punktach x = 0 i x = oo jest zbieżna jednostajnie względem y dla y >0.

Dla x = 0 wynika to od razu z istnienia mąjoranty 1/**, a dla x = oo ze zbieżności całki

J

cosx

x^m

dx

[476 i uwaga końcowa z ustępu 315].

14) Niech/(/) będzie funkcją ciągłą dla f >0. Jeżeli całka

/ t^lmdt

o

jest zbieżna dla A = * i A = /J {x<fS), to jest ona też zbieżna dla wszystkich wartości A z przedziału (ot, 0) i przy tym jest jednostajnie zbieżna względem A w punktach t = 0 i t = oo.

i

Dowód. Całka J r*/0) dr jest zbieżna, a r^A_*jest dla wartości A>ot funkcją monofoniczną zmień-

o    i

nej r i jest ograniczona przez 1. Wobec tego całka

i    i

/ f V(0 * = / t^x~'-t^af(t)dt

O    o

jest dla tych wartości A zbieżna jednostajnie przy t = 0. Analogicznie można się przekonać o tym, że całka

i    i

jest zbieżna jednostąjnie względem A dla A</? przy t = oo. 13) Dowieść, że całka

J    (0 < a < 1)

o

jest przy x = oo zbieżna jednostajnie dla y>y_o>0, a nie jest zbieżna jednostajnie, gdy y jest ograniczone tylko nierównością y>0.

Pierwszą część tego twierdzenia można by było otrzymać za pomocą kryterium 3° z ustępu 515, ponieważ dla dowolnych A>0 i y>y₀ jest

|J cos xy </jc| o

sin Ay y

<

1

yo'

i przy x

oo funkcja 1/jc* dąży do zera malejąc monofonicznie.