0592

0592



594


XIV. Całki zależne od parametru

12) Wykazać to samo dla całki

f 8jc3y

J (x*


-8 xy3


dx.


Tutąj całka

f8x*y

J (x*


r8.^ dx--

(*J+ył)a


4r>2y

tf+y*)1


dla y = ij jest równa —1/»;.

13) Udowodnić, że całka

J e-x, S2H-dx (0 < a < 1)

'o

w punktach x = 0 i x = oo jest zbieżna jednostajnie względem y dla y >0.

Dla x = 0 wynika to od razu z istnienia mąjoranty 1/**, a dla x = oo ze zbieżności całki

J


cosx

xm


dx


[476 i uwaga końcowa z ustępu 315].

14) Niech/(/) będzie funkcją ciągłą dla f >0. Jeżeli całka

/ tlmdt

o

jest zbieżna dla A = * i A = /J {x<fS), to jest ona też zbieżna dla wszystkich wartości A z przedziału (ot, 0) i przy tym jest jednostajnie zbieżna względem A w punktach t = 0 i t = oo.

i

Dowód. Całka J r*/0) dr jest zbieżna, a rA_*jest dla wartości A>ot funkcją monofoniczną zmień-

o    i

nej r i jest ograniczona przez 1. Wobec tego całka

i    i

/ f V(0 * = / tx~'-taf(t)dt

O    o

jest dla tych wartości A zbieżna jednostajnie przy t = 0. Analogicznie można się przekonać o tym, że całka

i    i

jest zbieżna jednostąjnie względem A dla A</? przy t = oo. 13) Dowieść, że całka

J    (0 < a < 1)

o

jest przy x = oo zbieżna jednostajnie dla y>yo>0, a nie jest zbieżna jednostajnie, gdy y jest ograniczone tylko nierównością y>0.

Pierwszą część tego twierdzenia można by było otrzymać za pomocą kryterium 3° z ustępu 515, ponieważ dla dowolnych A>0 i y>y0 jest

|J cos xy </jc| o


sin Ay y


<


1

yo'


i przy x


oo funkcja 1/jc* dąży do zera malejąc monofonicznie.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
618 XIV. Całki zależne od parametru Aby wykazać, że mieliśmy prawo zmienić kolejność całkowania
568 XIV. Całki zależne od parametru Na przykład, nie oblicząjąc całek J In (x2+y2)dx, O widzimy od
630 XIV. Całki zależne od parametru jest funkcją ciągłą argumentu k dla &<1, a całka f dk ~
648 XIV. Odki zależne od parametru Pomnóżmy teraz obie strony tej równości przez ta 1 i scałkujmy wz
564 XIV. Całki zależne od parametru Konieczność. Jeżeli /(x, y) dąży jednostajnie do <p (x), to d
566 XIV. Całki zależne od parametru równość (4). Ustalmy wartości y i y spełniające warunki (5), a
570 XIV. Całki zależne od parametru Łatwo jest sprawdzić te wyniki obliczając bezpośrednio
572 XIV. Całki zależne od parametru podczas gdy / dxffdy- - iir. 0 o 509. Przypadek gdy granice całk
574 XIV. Całki zależne od parametru niewłaściwym) w przedziale <a, bj. W ten sposób można wyłożon
576 XIV. Całki zależne od parametru można znalezione wyrażenie dla / napisać w postaci /= V(-1)*
578 XIV. Całki zależne od parametru Łatwo jest sprawdzić, że założenia twierdzenia 3 są tu spełnione
580 XIV. Całki zależne od parametru Oczywiście wystarczy sprawdzić, że każda z tych funkcji z osobna
582 XIV. Całki zależne od parametru Ponieważ /„(<?) = 0, więc X /« + iU)=
584 XIV. Całki zależne od parametru 18) Podamy jeszcze przykłady całek, w których nie można zmienić
586 XIV. Całki zależne od parametru§ 2. Zbieżność jednostajna całek 513. Definicja całki zbieżnej
588 XIV. Całki zależne od parametru 515. Warunki dostateczne zbieżności jednostajnej. Podamy teraz p
590 XIV. Całki zależne od parametru 516. Drugi przypadek zbieżności jednostajnej. Rozpatrzmy teraz
592 XIV. Całki zależne od parametru 3) Dowieść bezpośrednio, że całkaf Are-"^dx J v3 dla
596 XIV. Całki zależne od parametru n-* co dąży jednostajnie do <p(x) = 0 w całym przedziale <

więcej podobnych podstron