0628

630

XIV. Całki zależne od parametru

jest funkcją ciągłą argumentu k dla &<1, a całka

f dk ~ |/l— k¹ sin²ę>

jest funkcją ciągłą argumentu q> dla q><n/2. Wreszcie istnieje oczywiście druga z całek iterowanych. Spełnione są zatem wszystkie założenia wspomnianego wniosku.

W kilku najbliższych przykładach będziemy mieli znowu do czynienia ze znaną nam już funkcją Bessela o zerowym wskaźniku [440, 12); 441, 4)]

dO.

J₀{x) — — f cos (x sin 0) 7C J

Podstawą dla naszych rozumowań będzie jednak wzór asymptotyczny dla J₀, który przyjmiemy bez dowodu. Oto ten wzór

(21) funkcja <p₀(x) pozostaje ograniczona, gdy x rośnie nieograniczenie:

lę>o«l < L.

3) Obliczyć całkę

CO

A = J e~"’J_g(x) dx (a > 0) .

Jest teraz

K/ł

TC/2 00

A = — J e~"dx j cos (x sin 6) dO = — J dO J e~‘¹ cos (x sin 0) dx =

= A f _2_d0 ₌-!-.

7t J a²+sin^J0 j/T+o⁵”

Zmiana kolejności całkowania jest dozwolona, ponieważ całka

j e~‘¹ cos (jc sin 0) dx o

jest zbieżna jednostajnie względem 0 (majorantą jest e~'^x).

Ze wzoru (21) widać, że całka

/ Mx)dx o

jest zbieżna (¹) i tym samym całka A jest funkcją ciągłą argumentu a również w punkcie a = 0 [twierdze nie 2; 515, 4°].

Można wobec tego obliczyć tę całkę ze wzoru dla A, przechodząc do granicy przy o -¹■ 0. Otrzymamy w ten sposób

/ J₀(x)dx = 1.

cos x cos -7¹ +$in ¹ sin

7)

\ 1/7

1

Będzie to od razu jasne, jeśli pierwszy składnik prawej strony wzoru (21) napiszemy w postaci