0612

614

XIV. Całki zależne od parametru

Pozostaje jeszcze do udowodnienia, że w całce z prawej strony wolno jest przejść do granicy dla C -* oo pod znakiem całki. Wówczas bowiem będzie istnieć całka

OO 00    C 00    00 C

/ dyj f{x, y) dx = lim / dy f /(x, y) dx = lim f dx f f(x, y) dy =

e a    c-ooj ;    C-.»;    "

oo    C    oo oo

= / dx -lim / /(x, y)dy = f dxf f(x, y)dy.

a    C-»eo _c    a c

Opierając się na twierdzeniu 1 z ustępu 518 można uzasadnić potrzebne nam przejście graniczne.

Mianowicie, funkcja

c

ff(*,y)dy

c

zmiennych x i C jest ciągła względem x [patrz twierdzenie 2 z ustępu 506] i dla C -* co dąży jednostajnie względem x w dowolnym przedziale skończonym do funkcji granicznej

00

/ f{x, y) dy .

c

Całka zaś

00 C

f dx f /(x, y) dy

a c

jest zbieżna-jednostajnie względem C, bo jest zmajoryzowana przez drugą z całek (18), ponieważ

C    00

\I fi*. y)dy\< j \f(x, y)\ dy.

c    c

Tym samym wszystkie założenia twierdzenia 1 są spełnione i powołanie się na to twierdzenie kończy nasz dowód.

Trochę prościej jest, gdy funkcja /(x, y) nie zmienia znaku. Na przykład dla funkcji nieujemnej (a wystarczy ograniczyć się do tego przypadku) prawdziwy jest następujący wniosek.

Wniosek. Jeżeli dla nieujemnej i ciągłej funkcji f{x,y) obie całki (17) są także funkcjami ciągłymi — pierwsza zmiennej x, a druga zmiennej y — to istnienie jednej z całek ite-rowanych (16) pociąga za sobą istnienie drugiej, która przy tym musi być równa pierwszej.

Z twierdzenia 2 i uwagi do niego wynika, że założenie ciągłości całek (17) jest równoważne założeniu ich zbieżności jednostajnej. Wystarczy więc zastosować ostatnie twierdzenie, ponieważ w tym przypadku \f{x, y)\ = f{x,y).

Rozważania tego ustępu także mogą być przeniesione na przypadek przedziałów skończonych, trzeba przy tym tylko punkt osobliwy x = oo zastąpić przez punkt osobliwy skończony x = b oraz — jeżeli to jest potrzebne — punkt y — co przez punkt y = d.