0660

662

XIV. Całki zależne od parametru

Przechodząc tu do granicy pod znakiem całki (dopuszczalność takiego przejścia uzasadnia się analogicznie) dochodzimy do innego wzoru

Można też, na odwrót, usunąć całkowicie wyrażenia wykładnicze z funkcji podcałkowej. Przyjmijmy w tym celu w (23) a = 1 :

Al)

n 1)

1    ~1 dx

l+x J x

-c,

gdzie C jest tzw. stalą Eulera (^ł). Odejmując stronami tę równość od równości (23) otrzy

mamy

1    1 dx

(l+x)“J x '

Wreszcie, podstawienie t = ^ prowadzi nas do wzoru Gaussa:

(25)

r'{a)

r{a)

+ C =

/

1 -t^a~^l 1 -t

dt .

536. Twierdzenie o mnożeniu funkcji r. 10° Korzystając z przedstawienia (25) pochodnej logarytmicznej wprowadzimy teraz następujący, interesujący wzór znaleziony również przez Gaussa:

(26) ■/■(„+^1) ,

n

(n jest dowolną liczbą naturalną). Przedstawia on tzw. twierdzenie o mnożeniu funkcji r. Podstawiając w (25) t=uⁿ otrzymujemy

na)

r(a)

+ C

u"-l .

1-H"

du .

(v = 0, 1.....n— 1), mamy

Stąd, zastępując a przez a+ —

+ C =

_un-l „jjita+y—1 1 —M*

du.

(^ł) W rozdziale XI [367, 10)] podaliśmy inną definicję tej stałej. Niżej przekonamy się, że obie te definicje są równoważne.