0634

636

XIV. Całki zależne od parametru

Zmieniając tu kolejność całkowania

f e-’dyj ŻZf-cos Pxdx,

0    o

otrzymujemy jako całkę wewnętrzną nieciągły czynnik Dirichleta (497,11)

0    dla    0 < y <p,

■j*    dla    0 < p < y.

f m*Ł_cosi)_xdx =

J X 0

Wobec tego

00

J = 4- w f e~^ydy = -i- ize~* .

2 J    2

o

Aby uzasadnić zmianę kolejności całkowania, zauważmy, że całka

f    cos flxdy

P    ^X

jest zbieżna jednostajnie względem x (majoranta ye~^s). Zatem

fS9liŁ_{dx =} fS£^L_dxf e~’sin xydy = J e~’dy } -ŚŁSŁ _Cos    dx .

0    OO    0    0

Zbadajmy, czy wolno w ostatniej całce (względem >■) przejść do granicy pod znakiem całki przy A -* oo. Funkcja podcałkowa jest iloczynem e~* przez

f cos fi_xdx = JL f sin(y+P)x+sm(y-f})x ^ _

J x    2 J    x

o    o

Ay+P>*    (y~Pl*    .

-ł /    / *r*I

o    o

i przy A-*- oo dąży do swej granicy jednostajnie względem y wyjąwszy otoczenie punktu y = /J. Ponieważ drugi czynnik jest ograniczony dla wszystkich wartości /t oraz y, więc funkcja podcałkowa ma majorantę postaci Ce-” i tym samym całka zewnętrzna jest zbieżna jednostajnie względem A dla y = fi i y = oo. Wobec tego można przejść do granicy pod znakiem całki; a to znaczy, że można zmienić kolejność całkowania.

11) Na zakończenie podamy jeszcze jeden elegancki przykład obliczenia całki

/ = f m*-_dx.

J X o

Ponieważ

CO

= j e~^x,dy, 0

więc

f ^dy = IL J 1+y*    2 '

o

IM    W    UW    IW

= J sin x dx J e~*”dy = j dy J e~^xr sin x dx

I