0646

648

XIV. Odki zależne od parametru

Pomnóżmy teraz obie strony tej równości przez t^a 1 i scałkujmy względem t w granicach od 0 do oo, otrzymamy

CO    00    00

^r<a + b) j    J f~^l dt J y'^_e-"+'»dy.

o '    '    o    o

Całka z lewej strony jest funkcją B (a, b) [por. (4)]. Z prawej strony zmienimy kolejność całkowania, otrzymując w rezultacie [uwzględniamy (13) i (6)]

00 00

r(a + b)B (a, b) = f y^^h~^l er* dy f t*-¹ e~^,y dt =

0    o

co    eo

= J ⁱ er* dy = r(a) f y*-¹ er* dy = r(a) r(b),

o^o

czyli ostatecznie (14)

B(a,b)

r(a)r(b) r(a + b) •

Podany tu piękny dowód tego wzoru Eulera zawdzięczamy Dirichletowi. Zauważmy, że na to, aby ten dowód był kompletny, trzeba jeszcze uzasadnić dopuszczalność zmiany kolejności całkowania.

Zrobimy to ograniczając się najpierw do przypadku, gdy a > 1, b > 1. Wtedy dla funkcji

f«-l ytt+b-l _e-(l+t)>>