0594

596

XIV. Całki zależne od parametru

n-* co dąży jednostajnie do <p(x) = 0 w całym przedziale <0, +oo). Mimo to całka

00

/ /»(*) dx = l o

przy n -* oo wcale nie dąży do zera.

Następujące twierdzenie podaje warunki wystarczające na to, aby dopuszczalne było przejście do granicy pod znakiem całki.

Twierdzenie 1. Załóżmy, że funkcja f(x,y) dla yeflf jest całkowalna względem x w zwykłym sensie w każdym przedziale <a, A}, gdzie A jest dowolną liczbą większą od a. Załóżmy dalej, że gdy y -* y₀, to funkcja ta w każdym takim przedziale dąży jednostajnie względem x do funkcji granicznej <p(x). Jeżeli oprócz tego całka

00

O)    I(y) = f f(x,y)dx

a

jest zbieżna jednostajnie względem y w obszarze 0/, to zachodzi równość

00    OO

(2)    lim j f{x,y)dx =• J <p(x)dx.

J>-*yo _a    a

Weźmy, jak wyżej, funkcję

A

(3)    F (A, y) = f f(x, y) dx .

a

Dla tej całki spełnione są założenia twierdzenia 1 z ustępu 506 i wobec tego

A

(4)    lim F (A, y) ~ J <p (x) dx .

y-yo    _a

Z drugiej strony, oczywiście

00

(5)    lim F (A, y) — I f (x, y) dx

A~<X>    g

i przy tym, jak wiemy, funkcja F(A,y) dąży tutaj do swojej granicy jednostajnie względem y. Możemy się zatem powołać na ogólne twierdzenie z ustępu 505 o przestawieniu dwu przejść do granicy. Z twierdzenia tego wynika istnienie i równość granic iterowa-nych, co już bezpośrednio prowadzi do równości (2).

Z udowodnionego twierdzenia można otrzymać następujący wniosek stosując uogólnione twierdzenie Diniego [504, 4°].

Wniosek. Załóżmy, że funkcja f (x, y) dla ye^cjj jest nieujemna i ciągła względem x w przedziale <ar, + oo) i przy y -* y₀ (y < y₀) dąży rosnąc wraz z y, do funkcji granicznej (ffx) także ciągłej iv przedziale <a, +oo). Przy tych założeniach z istnienia całki

CO

(6)    J <p (x) dx

a

wynika istnienie całki (1) dla wszystkich ye^ł/ oraz równość (2).