0620

622

XIV. Całki zależne od parametru

4) Obliczyć całki

(a) /,- /    CO>Q.

0

(b) ^= f    (r>0).

o

_{(c)    =} f arc tg ox arc tg bx ^ _{(fl> 6>0)}.

■z    je²

(a) Wskazówka. Całka /i jest ciągła względem o dla o>0; majorantą jest 0<a<a_l. Pochodna dla o>0:

ln (l+o? x²) b²+x²

dla

dJi ₌ f    2ax²_ _dx = 7t .

da J    (ó² + jc²) (1+o²jc²)    oó+l

O

majorantą dla 0<o₀<o<o, jest _(&2_+jti_)(1+<>oi _x*_}

Odpowiedź. J_t = -^-ln (oó+l). o

(b) Wskazówka. Pochodna dla r>0

co

dJi _ t _dx__ n_ _    1    .

dr J (l+r²x²)(l+x²)    2 ' 1+r ’

o

majorantą jest 1/(1 +x²).

Odpowiedź. J_z = j-it ln(l+r).

(c) Wskazówka. Różniczkowanie względem a prowadzi do całki typu /₂

dJ₃

da

I

1

1 +a²x²

arc tg bx x

dx~J

arc tg — t _a

/(1+/²)

dt = ą-\_a°±Ł

2 a

(o > 0).

.    ■ a- r ^K i (a+b)‘^+t

Odpowiedz. /₃ = yln——.

Uwaga. Z całki J₂ przy r — 1 otrzymujemy przez podstawienie x = tg t całkę

"12

f —<// = —In 2.

J tg t 2 0

Całkując przez części otrzymujemy stąd znowu [por. 492,1"]

7t/l

J ln sin tdt=— — ln 2.