0674

676

XIV. Całki zależne od parametru

7) Znalezione całki u i v pozwolą nam obliczyć inne ciekawe całki. Pomnóżmy mianowicie obie strony równości

^ cos'® cospO = f e~^mxx^p~^l cos bx dx a'    •

o

przez

a• tg¹-¹® —- - = ó¹-¹ db cos²®

(przyjmując 0<q<p i ę<l) i scałkujmy po lewej stronie wzglądem 0 od 0 do n/2, a po prawej stronie względem b od 0 do oo ('). W wyniku otrzymujemy

«/2

A = f cos'“^,-,8sin^,“^,®cos

a¹-¹

r(p)

e~^mxx^p~^l cos ójt dx.

o    o

Zmieniając po prawej stronie kolejność całkowania, otrzymujemy

Ji = —rr f e-'x'-'dx f ^-db.

r{p) J    J ó‘-«

Łatwo stwierdzić na podstawie 3), że całka wewnętrzna jest równa JT (?) cos —- x^-1, a więc

J e-‘^xx’-^t-'dx

a^p-^ąF(ą) cos ?

i'(p)

ostatecznie

Ji = f cos'^-1-¹® sin^1-'® cos p®d® = HSŚl^SŁ—?Icos —

o    2

Analogicznie można obliczyć

Ji = f cos'-^1-1® sin^1-1 0 sin pO dO = r(q)r_(p—Q) _sj_n _

o    ^0>)    2

Pokażemy teraz jak uzasadnić zmianę kolejności całkowania, bez czego, rzecz jasna, uzyskany wynik nie może być uznany za prawdziwy. Ponieważ całka

OQ

J x^,-'e~^,1b^{1 A} cos bxdx o

jest zbieżna jednostajnie dla 0<b_o<b¹ZB< +oo, więc jest

B    <n    oo    B

J b^ą~'db j x^p~^,e~‘^x cos bxdx = ( e~^,xx^p~¹dx J ó^1-1 cos bx db —

'o    o    o    ¹0

CO    Bx

=s j e~‘^xx^p~^,~^,dx J u¹-¹ cos udu.

1

Związek między zmiennvmi h i 0 dany jest prostym wzorem b = a tg 0 (o = const).