0672

674

XIV. Całki zależne od parametru

Różniczkując otrzymaną równość powtórnie (różniczkowanie pod znakiem całki uzasadnia sie jak wyżej) dostaniemy

f jin_£_ . i„_łjc _

J x*

f ru

|r(s) siniej

₃ r'(s)sin^-+ir(s)cos^- -³ [    2    2    2 J

7t_

2

|r"(r) sin — +nr\s) cos — - — r(s) sin .

2f

Przyjmując w obu nierównościach s = 1 obliczamy szukane całki

f i!E2L!„*,/* = iL.r'(l),

■J x    2

/

^^-ln^rfjc = r: [r(l)]²~ — -r"(l) + —

x    2    8

Ponieważ [por. 1)]

r'(i)=-c, r"(i) = c²+ •

6 *

więc ostatecznie

f m*-_{laxdx =} -*.c, f iłn^)„^^ = ^--c²+iL^J

J X    2    J X    2    24

5) Poznaliśmy już [por. 534, (b)] wzór

f sin¹'^-1?) dtp =    • —0“L— (o > 0).

o    ²    H"+ł)

Różniczkując go względem a według reguły Leibniza [520] otrzymujemy

W/J

f sin^J*~V‘lⁿ sin q> dtp = — •    • —ŁlŚL—

l    ² 2 _r(a+±_}

dlnr(a) ^diaF{^a+ 7)

da    da

Posługując się wzorem Gaussa (25), wyrażenie w nawiasie możemy napisać w postaci

* -i

¹    di.

j 1 -t

Przyjmijmy teraz 2a— 1 = 2n, gdzie n jest dowolną liczbą naturalną lub zerem, i podstawmy / = u¹. Otrzymujemy

T    i/r ^r(ⁿ+\) r u*'

I    _r(n+1) fr^^da-