0630

632

XIV. Całki zależne od parametru

5) Różniczkując całkę B względem parametru a otrzymujemy inną interesującą całkę

0    dla a > 1,

C = J /„W cos ax dx ■■

1

dla a < I

Aby uzasadnić dopuszczalność różniczkowania pod znakiem całki, zauważmy, że całka C jest zbieżna jednostajnie względem a w dowolnym przedziale domkniętym wartości zmiennej a nie zawierającym jedności. Wynika to ze wzoru asymptotycznego (21) (¹)■ Napiszemy go mianowicie w postaci

/oto =

1

-(cos x+sin x)+

g>nto

i pomnożymy obustronnie przez cos ax

/oto cos ax

1 cos (1 +o) je+cos (I —a) jc+sin (1 +o) x+sin (1 — a) x , <Po(x) cos ax 2 j/ir    ^    ^xV2

Drugi składnik ma jako mąjorantę funkcję L/x³¹¹. Całka z pierwszego składnika jest dla |1—a|> ><5>0 także zbieżna jednostajnie.

Ten sam wzór pokazuje, że dla a — 1 całka Cjest rozbieżna.

6) Obliczyć całkę

D = J    ■J₀(x)dx (a > 0) .

0

Obliczamy

co    tt/2

i) = -f lr-5-OSf¹ _dx f cos (_X sin 0) dO = n J x    J

o    o

nu co    Jt/2

= — f d6 f -—^^os a¹ cos (jf sin 6)dx — — f [ln »^|o^ł—sin^J0| —ln sin 0J dO

w /    /    X    7T /

0    0    o

[por. 497, 16 (b)]. Wobec tego [497,7) i 511,7)]:

D

/

1 —cos ax x

•/oto dx =

fln (a+ )/a¹ — l)

[0

dla    a > 1,

dla    a < 1.

Dla uzasadnienia zmiany kolejności całkowania napiszemy najpierw następującą równość prawdziwą dla A skończonego:

A    n/2    Ji/2 A

— f ¹    5 a¹ rfJt f cos (x sin 0) de = -ł f rf0 f i-**™ cos (X sin 0) dx.

n j X    J    TT J J X

O    O    0    0

Idzie teraz o to, czy przy Aco wolno po prawej stronie przejść do granicy pod znakiem całki.

1

Por. notkę na stronie 630.