0632

634

XIV. Całki zależne od parametru

Dla drugiej całki iterowanej

J

“Z

(x²+y²)²

* 1

otrzymujemy analogicznie / = tt. Zmiana kolejności całkowania jest zatem niedozwolona. Warto zauważyć, że całka

dx

f y²-x² J (x²+y²)²

jest zbieżna jednostajnie względem y dla wszystkich y> 1 — stwierdziliśmy to w ustępie 517, 1). Analogicznie wykazujemy zbieżność jednostajną całki

dy

f y^ł-x²

J (x²+y²)²

o

względem x (dla x> 1). Twierdzenia 5 nie można jednak tutąj stosować, gdyż obie całki

00 «

/

\y²-x²1 (x¹+y²)²

dy,

f^dyI

l    1

\y*-x²1 (jc ²+y²)²

dx

są rozbieżne, co łatwo jest sprawdzić bezpośrednim rachunkiem.

(b) Łatwo się przekonać, że nie można również zmienić kolejności całkowania w następującym przypadku:

y-x

(x+y)

— dy = — 1,

y-x

(*+y)³

dx = —

1_ 2 ’

Tutąj odka

dx

f y~^x

nie jest rozbieżna jednostajnie w przedziale <0,1> — wynika to z twierdzenia 4; można się też przekonać o tym bezpośrednio.

(c) A oto inny interesujący przykład podobnego typu (Hardy)

I 00    00    1    00

JdxJ (pe-'¹’-qe-***) dy- J dy j (pe-»^x’-qe-'^xr) dx = J ‘7^rx~^e~^,x dx = In-£■(>),

0    1    10    o    ^

wynik jest różny od zera, jeżeli weźmiemy p> 0, q> 0 i p^q.

9) Podamy dwa nowe sposoby obliczenia całki Laplace'a

J 2+x²

o

[por. 522, 4°].

1

Całka Froullaniego [495, 1)].