0658

660

XIV. Całki zależne od parametru

Biorąc ot > 0 i y—ot > 0 rozpatrzmy całką

1

/(*) = / o

dla 0<jc<1. Ponieważ przy ustalonym x szereg

■-o

jest zbieżny jednostajnie wzglądem z w przedziale <0,1 >, więc mnożąc go przez funkcją z*^-1 (1 — z)*^-*^-1 całkowalną w tym przedziale, możemy całkować otrzymany w ten sposób szereg wyraz za wyrazem. Otrzymujemy rozwinięcie

o

gdzie

j ₌ ffOM-1)..- OM-n-1) . r(«+ii) r(y-a) ₌ l^-2* ... •n    r(y+n)

_ f(») r(y—«) . « (ot+1) ... (ot+w—1) /?(ff+1)... (/?+n-l)

T(y)    1-2- ... -ny (y+1) ... (y+n-1)

[patrz (10)]. Wobec tego

/ _(x) = r(a) r (y -*) _F{9 x)

T(y)

Aby otrzymać wzór Gaussa, wystarczy przejść tu do granicy, dla x -*■ 1 (przyjmując, że y—oi—/S> >0). To przejście graniczne można w szeregu przeprowadzić wyraz za wyrazem zgodnie z twierdzeniem Abela [437, 6°]. Pod całką zaś można przejść do granicy, bo istnieją majoranty

z*-‘(l -z)⁷-*^-1 (dla /ł < 0) lub    £)■>-*-»-' (dla/i > 0) .

W rezultacie [por. (14)]

/*(<») f(y-ot-j?) ₌ r(ot)r(y-ot) ... _g v ...

r(y-/8)    r(y)

stąd wynika już dowodzony związek. Możemy z niego otrzymać w szczególności dla y — 1, /5 = -a, uwzględniając [(11), (9), (15)], interesujące rozwinięcie

sinotTt _ . ot* . ot²(at²-l)    <»²(ot^ł —1) (ot²—4) .    (0 < ot < n (>)

otTc    1    (1 • 2)²    (1-2-3)²    ”

535. Pochodna logarytmiczna funkcji r. Kontynuując badanie własności funkcji r przejdziemy do rozpatrzenia jej pochodnej logarytmicznej, to znaczy wyrażenia

d ln r(a)    r'(fl)

da    r(a) '

9° Różne przedstawienia tego wyrażenia w postaci całek można uzyskać ze wzoru (8).

(') Można je też otrzymać przez przekształcenie znanego iloczynu nieskończonego przedstawiającego funkęję sinus [408].