0613

615

§ 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek

522. Zastosowanie do obliczania niektórych całek. Zastosujemy teraz wyłożoną teorię do obliczenia niektórych ważnych całek.

1° Całki Eulera

oo

(0 < a < 1),

0

oo

J~a-1__y6_1

dx (0 < a, b < l), o

r x^a~^ldx    _/n    .    _n .

I —5—^-ń—(0 < a < 1, —7t < 0 < n).

J x²+2xcos0+l ^v    ’    '

o

Z przykładu 1) z ustępu 496 otrzymujemy od razu

00

C z^2m    iz    1

J -!+?=•*■-ar-—2m+r— ^<ra<">-

0    sin -r- 7t

2 n

Przyjmując tu z = x^i,2n znajdujemy pierwszą z całek eulerowskich dla wartości szcze-,,    2m + l

gdnej a = —2^—•

2m+l

0

(19)

IZ

. 2/n + l

sm —--tz

2 n

Aby otrzymać wartość tej całki dla dowolnego a spełniającego nierówności 0 < a < 1 wykażemy, że dla tych wartości całka ta jest funkcją ciągłą parametru a.

Dla 0<x<+ooi0<a<l funkcja podcałkowa jest ciągła względem obu zmiennych. Dalej, rozpatrywana całka jest zbieżna jednostajnie względem a przy x = 0 dla

00

a₀ > 0 i przy x ~ oo dla a < a_x < 1. Istotnie, rozbijając całkę J na sumę dwu całek

o

1 00

J + J można z łatwością dostrzec, że są one zmajoryzowane przez całki

o i

f - dx i f    dx .

J l+x    J l+x

0 1

00 1

Stosując do całki J twierdzenie 2 i do całki J analogiczne do niego twierdzenie dla prze-

i    o

działu skończonego stwierdzamy, że są one ciągłymi funkcjami parametru.

Do każdej wartości a (O < a < 1) możemy się dowolnie przybliżyć za pomocą ułamków postaci (2m + l)/2n, w których m i n są liczbami naturalnymi i m < /(.Przechodząc po.