0587

589

§ 2. Zbieżność jednostajna całek

Jeżeli korzystając z kryterium 514 weźmiemy A₀ tak duże, żeby dla A' > A > A₀ było    ,,

|J /(*> y) ^dx\ <

dla wszystkich y jednocześnie, to — podobnie jak w ustępie 476 — łatwo otrzymamy oszacowanie

A'

I / /(*, y) 9 (*. y) dx| < e.

A

Z oszacowania tego wynika już [514] dowodzone twierdzenie.

3° Analogicznie jak w ustępie 476 można wziąć jeszcze inny układ założeń dotyczących funkcji f i g.

Jeżeli całka

A

j f(x,y) dx

a

jest ograniczona jako funkcja A i y:

A

|J/(x, y)rfx|< K (K = const, A > a, y e ‘T/j

a

i przy tym dla x -> oo funkcja g (x, y) dąży do zera jednostajnie względem y w obszarze 0/ to całka (4) jest zbieżna jednostajnie względem y w obszarze y.

Dowód pozostawiamy czytelnikowi.

4° Na zakończenie zauważymy jeszcze, że w praktyce najczęściej zdarza się, że z dwu czynników / i g jeden tylko zawiera parametry y. Tym samym każde z kryteriów 2° i 3° daje dwa szczególne kryteria w zależności od tego, który z tych czynników zawiera y. Sformułujemy jedno z nich, wynikające z kryterium 2°, i szczególnie często stosowane w praktyce.

Jeżeli całka

00

/ f(x)dx

a

jest zbieżna, a funkcja g (x, y) jest monofoniczna względem x i jednostajnie ograniczona, to całka

00

/ f(x)g (x, y) dx

a

jest jednostajnie zbieżna względem y.

Wynika stąd na przykład, że całki typu

/ e~”f{x) dx, f    dx (a > 0)

a    a

00

są jednostajnie zbieżne względem y dla y>0 przy założeniu, że całka j f{x) dx jest zbieżna. Obie funkcje

a

_e-*j i gą bowiem monofonicznie malejące względem x i ograniczone np. liczbą 1.

Uwaga ta będzie nieraz użyteczna w dalszych rozważaniach.