0593

595

§ 2. Zbieżność jednostajna całek

To samo można też wykazać rozpatrując bezpośrednio wyrażenie

f    <tx - f-' [«**-*.

A    A*

Druga część twierdzenia wynika z tego, że wyrażenie powyższe rośnie nieograniczenie, gdy A — l/y

i y-+0.

Łatwo dostrzec, że przy x = 0 badana całka jest zbieżna jednostajnie względem >• w dowolnym obszarze zmienności y.

16) Dowieść, że całka

f    <ix (oC, /i > 0)

J a² + A²

jest zbieżna jednostajnie względem /? dla /?> Po > 0.

Wynika to z kryterium 3° z ustępu 313. Istotnie, dla

Po

\f sin Pxdx\ = ±^JL

Ponadto wyrażenie

x

«²+*² ’

nie zawierające /?, maleje wraz z wzrastaniem x (przynajmniej dla x><x) i dąży do zera, gdy a- -*■ + oo.

§ 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek

518. Przejście do granicy pod znakiem całki. Zajmiemy się teraz przede wszystkim zagadnieniami związanymi z przejściem do granicy pod znakiem całki rozciągniętej na przedział nieskończony. Twierdzenie 1 z ustępu 506 na ten przypadek nie przenosi się —jeżeli nawet w całym przedziale nieskończonym funkcja f(x, y) przy y -* y₀ dąży jednostajnie do funkcji granicznej 9»(x), to może się okazać, że nie można przejść do granicy pod znakiem całki.

Rozpatrzmy na przykład funkcję

/»(*) ⁼~^3^{e    2x1}    (^A‘ > ⁰⁾ ’

/„(O) = 0

(n = 1,2,3,...). Łatwo jest stwierdzić zwykłymi metodami rachunku różniczkowego, że

w punkcie x = j/w/3 funkcja ta osiąga swoją największą wartość równą —e~ⁱⁿ. Po-

]/n

nieważ przy n -*■ 00 wartość ta dąży do zera, więc stąd już wynika, że funkcja f_n(x) przy