0597

§ 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek

599

więc majorantą jest po prostu stała i całka sumy jest w punkcie x-= 1 zbieżna jednostajnie względem n* Całkowanie szeregu wyraz za wyrazem jest zatem dopuszczalne (twierdzenie 1').

(b) Analogicznie

!__L4- J___?__i__!___JL.J±£Ł

7    9    15    17    4    2

3) Korzystając ze wzoru

1

p(p+l) ...{p+ń)

l

f(1—

nl J

obliczyć sumę szeregu

^(a)T^3⁺TTT ⁺ T6T⁺ •’

^<b)Th⁺7h⁺ih⁺-

(c)

¹ - + WW + -

1

1-2-3-4    4-5-6-7    7-8-910

Odpowiedzi:

+ ...

-In 2,

^(a) tJ ⁱr¹^r^{llx = ln2}-T’ (b)

2 J 1 —jr    2    2 J 1 —

± f    dx =— - -j-ln 3+

^<c)i / "7^

6 J 1— >

2 ]/T    6

4) Obliczyć całki Eulera

w/-/

x—¹

1+X

dx

CO

(0 < a < 1),    (b) K = f Jt*-¹--**^-1    (_a, A > 0).

1—*

Rozwiązanie, (a) Rozbijemy całkę na dwie

1= / + / -h+h.

obliczymy je oddzielnie.

Dla 0<x<l mamy następujące rozwinięcie w szereg:

-^-7-2

Szereg ten jest zbieżny jednostąjnie tylko, gdy 0 < e < x < 1—s' < 1. Suma częściowa ma jednak całkowalną w przedziale <0, 1> mąjorantę

0 < § c-i)V^+y-^ł

v«0

i+*