0585

587

§ 2. Zbieżność jednostajna całek

i dla każdego e > 0 nierówność

(3)    e~^Ay < s

jest spełniona dla wszystkich A > A₀(y), gdzie A₀{y) = —jest zależne od y.

Jeżeli y zmienia się tylko w przedziale <c, d), c > 0, to można znaleźć niezależną od y liczbę A₀ taką,, że dla A > A₀ nierówność (3) jest spełniona od razu dla wszystkich y. Wystarczy bowiem za A₀ wziąć A₀(c), bo dla A > A₀ będzie wówczas

e~^Ay < e~^Ac < e (c < y < d) .

Innymi słowy, badana całka jest zbieżna jednostajnie w przedziale <c, </>.

Inaczej jest, gdy parametr y zmienia się w przedziale <0 ,d>, d> 0. Teraz nie istnieje już takiego, przynajmniej w przypadku e< 1. Widać to chociażby z tego, że dla dowolnie dużej wartości A wyrażenie e~*^f dąży do 1, gdy y-*0. Tym samym dla dostatecznie^małych y jest ono większe od dowolnej liczby e< 1. Zbieżność rozpatrywanej całki w przedziale <0,d~j nie jest zatem jednostajna względem y.

514. Kryterium zbieżności jednostajnej. Związek z szeregami. Ogólne kryterium zbieżności jednostajnej funkcji [504, 1°] można sformułować w zastosowaniu do rozpatrywanego przypadku w następujący sposób.

Na to, aby całka (1) była zbieżna jednostajnie względem y w obszarze ^clj, potrzeba i wystarcza, aby dła dowolnej liczby e > 0 można było znaleźć taką liczbę A₀ niezależną od y, żeby dła A' > A > A₀ nierówność

A’

A

A'

|j f(x,y)dx- J f(x, y)dx\ = |J f{x,y)dx

< e

była spełniona jednocześnie dla wszystkich y z obszaru y.

Jak zwykle, tutaj także rzecz cała sprowadza się do tego, że zwykły warunek zbieżności musi być spełniony jednostajnie dla wszystkich wartości y [por. ustęp 475].

Całki niewłaściwe z nieskończonymi granicami zestawiliśmy już w ustępie 475 z szeregami nieskończonymi. Całki zbieżne jednostajnie także wiążą się szeregami nieskończonymi.

Jak wiemy już z ustępu 504, 2°, funkcja F(A, y) (patrz (2)) dla ^ oo dąży jednostajnie względem y do całki (1) wtedy i tylko wtedy, gdy do tej całki dąży jednostajnie każdy ciąg funkcji {F(A„, y)} dla dowolnego ciągu A„ -* oo.

Przechodząc od „języka ciągów” do „języka szeregów nieskończonych” otrzymujemy ostatecznie następujący wniosek.

Zbieżność jednostajna całki (1) względem y jest równoważna ze zbieżnością jednostajną wszystkich szeregów postaci

⁰⁰

2 i /(*> y) dx

(A₀

a, A„^a),

gdzie A_njest dowolnym ciągiem dążącym do co.