0627

629

§ 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej caiek

524. Przykłady całkowania pod znakiem całki.

1) Obliczyć

_(a) f    _(b) fcos ax-cpsbx _{dx (a>b>0)}

J    X    J    X²

o    o

całkując pod znakiem całki. Rozwiązanie, (a) Całka

f e~'^xdx = — (y > 0)

o    y

Jest zbieżna jednostajnie względem y dla y>yo>0. Całkując tę równość względem y w przedziale od a do b (z lewej strony można całkować pod znakiem całki) otrzymujemy

/ dx f e~^rxdy = /    dx = f 4’- = ln±

O c    0    a

[por. 495, 1)].

(b) Analogicznie, wychodząc z całki

fmiŁ_dx = ?L (,>0),

J x    2

o

która także jest zbieżna jednostajnie względem y dla y>>o>0, otrzymujemy

f f sin yx dy = f    dx = ^(b-a)

J x J    J    x²    2

o .    o

[por. 497, 10(a)].

2) Rozpatrzymy całkę eliptyczną zupełną rodzaju pierwszego

It/2

*(*) = /

O

dtp_

y^l—k² sin²ę>

jako funkcję modułu k i znajdziemy całkę tej funkcji w przedziale <0, 1>. Mamy

A    1    ni*    nfA    1    n/ł

f K(k)dk = fdk f ^df = ( dtp f ^dk = f 0    0    0    ^i—k² sin²ę> '    ;    y/\-k² sin²ę> j ^sm9’

i stosując podstawienie x = tg -i tp, dochodzimy do podwojonej całki

J arctgs _dx _ Q _ o,915965 ... o

[G jest stałą Catalana, por. 328, 6) i 440, 6a)]. Zmiana kolejności całkowania była tu dozwolona na pod stawie (zmodyfikowanego) wniosku z twierdzenia 5. Funkcja podcałkowa jest bowiem ciągła i dodatnia w całym prostokącie <0, n/2; 0,1> z wyjątkiem punktu (n/2,1), gdzie staje się nieskończona. Dalej, całka