11014940�8343634532938437864211080361770 n

II SZEREGI FUNKCYJNE £/.(*). x&X_r<zR

zbieżność punktowa, bezwzględna, tzn. zbieżność    ^xe*

zbieżność jednostajna (-> ciągłość sumy szeregu, całkowanie i różniczkowanie szeregu) rozwijanie funkcji w szereg funkcyjny <$(*) ^{=    v G c} ^

Kryterium Wcierstrassa (K\V): V// >/; Vxt- X.\J.(x)| -a. a £g_m /bieżny :> £/,(x) zbieżny jedn i bc/wzgl (np. .S(x) i.^s~r jest klasy (jakiej?)

Przypadek szczególny: a) szeregi potęgowe; b) szeregi trygonometryczne Fouriera

a) szeregi potęgow ^a_nX" ^,+<i_ix+...+a_nxⁿ +..., xe(-r_I\r_i)-cft

lim n->*	/-..W	<1 /fcietty ł> j-J
	/*(*)	>} rwtnr/j>y =» -|++ x—r,+ x-/, 7

Promień zbieżności r. wyznaczamy z KD:

Rozwinięcia podstawowe: A)

- = !+x + x^: ♦ ...+ x*¹ + ... = Yx"

l-x<-u)    f «»

¹    I X + X^;.... + (-|)‘V’ + ...    f(-|)*V

= l-X-%x‘+... ₊ (-1)”x^:*^:4-_ł.. -

t>jr i w*    ' '    h» f?^v '

r dl x* x . i X"    x-

'■!r?-'-rr 'co    ZHi sr

... r¹-¹

B)

C)

exp(.v) = e* = 1 + Jf+ ”• +... +

*    2! w! * w!

smh x - ]T

X¹*

5    5(5*

r

* 2f

Przykłady

1)    Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu (dziedzinę sumy S): a).s(x) y ^cos>^/^ ^{v 4}'    . b).v(x)> Tjfe--

,n 2 (2/i+1)    r! nł

2)    Wyznaczyć dziedzinę i podać wzór na sumę: a) .V(r)    *    : b) .V(x) £//(-

*1 ^w    »o V*t/

, '_r ,    , fIftfl+Wx)

3)    Obliczyć całki z dokładnością do 10 a) Jsin(.t‘)rĆv. b) I e *' dx. c)    ¹dx

o    o    J