7

Definicja zbieżności szeregu funkcyjnego

IX)

Szereg funkcyjny £ /_n(x) nazywamy zbieżnym w zbiorze X. jeżeli ciąg jego

n=l

sum czściowycłi    jest zbieżny w tym zbiorze, Lj.

S(x)

natomiast rozbieżnym w przypadku przeciwnym.

Funkcję graniczną S(x) nazywamy sumą szeregu funkcyjnego w zbiorze X i piszemy

oo

E /»(*) = S(X)

n= I

Jeżeli ciąg (S_n(x)) jest jednostajnie zbieżny w zbiorze X, to szereg funkcyjny nazywamy jednostajnie zbieżnym w tym zbiorze.

Jeżeli szereg funkcyjny jest zbieżny w zbiorze X i ma tę własność, żc jest zbieżny w tym zbiorze szereg utworzony z wartości bezwzględnych jego

oo

wyrazów, tj. ^ |/_n(.x)|, to nazywamy go bezwzględnie zbieżnym w zbiorze X. 0=1

Kryterium Weierstrassa

Jeżeli istnieje taka liczba naturalna N, że dla każdego n > X i dla każdego x € X spełniona jest nierówność

|/„(z)| < (l_n

przy czym szereg liczbowy

oo

(2-4)    E«»

n=l

jest, zbieżny, to szereg funkcyjny

oo

(2-5)    E /»W

n=l

jest zbieżny w zbiorze X jednostajnie i bezwzględnie.

Szereg (2.4) nazywamy majorantą liczbową szeregu (2.5).