0365

367

§ 1. Zbieżność jednostajna

ro

6) Rozpatrzmy szereg geometryczny £ jr*~^ł, jest on zbieżny w przedziale otwartym X — (—1,1). Dla dowolnego x z 9C w-ta reszta ma postać

”'^w-rrr

Gdy n ustalimy dowolnie, to oczywiście będzie

lim |ę>„(x)| = i-, lim <p.(x) = oo .

*--1+0 ^Ł *-1-0

Zarówno jeden jak i drugi wynik dowodzą, że przy tym samym n, dla wszystkich x jednocześnie, nie może być spełniona nierówność

W* C*)l < e, gdy e < y.

Zbieżność szeregu geometrycznego w przedziale (—1,1) jest niejednostajna; to samo dotyczy przedziałów (—1,0> i <0,1) z osobna.

®    i — i

7) Szereg V ^ . -jest zbieżny dla dowolnej wartości x z X «■ (— oo, -f oo), ponieważ speł-

j x -hn

nione są założenia twierdzenia Leibniza [381]. Zgodnie z uwagą zrobioną po udowodnieniu tego twierdzenia, bezwzględną wartość reszty szeregu szacuje się za pomocą jej pierwszego wyrazu

x²+n+l «+l

Wynika stąd, że szereg jest w całym przedziale nieskończonym % zbieżny jednostajnie.

8) Analogicznie szereg    Je®* zbieżny jednostajnie w X = (— *>, + oo), ponieważ

dla x#0

(1+*²)"    l+»Jt² +

Ciekawe, że wprawdzie szereg bezwzględnych wartości Rzeczywiście jego reszta dla x#0

ÓD

s

z²

(I+*²/

jest zbieżny, ale nie jednostajnie.

?«(*)=

<l+*²)^,,+^,

1-

1

l+x² dla dowolnego ustalonego n dąży do 1, gdy x -*■ 0.

U waga. Jeżeli w przykładzie 2) zamiast odcinka <0,1 > rozpatrzymy dowolny odcinek <a, 1 >, gdzie 0<a<l, to na nim zbieżność będzie już jednostajna. Rzeczywiście dla wszystkich x > a

f(x) ^nx    t' ⁿ    '    ¹

^M '    l+«².r^2    <    l+n²a^2    <    na²

Natomiast na dowolnym odcinku <,0, a> zbieżność jest oczywiście niejednostajna. Tak więc własność niejednostajności zagęszcza się jak gdyby wokół punktu x ■— 0; nazwiemy ten punkt punktem niejedno-stajnoici. To samo dotyczy również przykładów 4), 3), i 8). Analogiczną rolę odgrywa w przykładzie 3) punkt x = 1, a w przykładzie 6) oba punkty x — — 1, x *■ 1.

W przykładach bardziej złożonych może występować nieskończenie wiele punktów niejednostajności.