PB032277

141

Szereg geometryczny

DEFINICJA 2.16

Ciąg nieskończony (S_n) o wyrazach:

S\-ai

Si §j <*\ | a\q Ą = a\ + a\q + a\q¹

S„ = a\ + d\q + d\q¹ + ... + d\(f~^{2 3}

nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu a\, a_xq, a_xq, a_xą ,..., a,*/" ¹,... lub szeregiem geometrycznym i oznaczamy symbolem: aj + a\q + a\(f + d\q³ +... + a\f~ ³+ ...

Jeżeli ciąg (Ą,) jest zbieżny, to jego granicę S nazywamy sumą nieskończonego ciągu geometrycznego (fli, a_tq, ditj¹, aiq⁴..., d\(f~ \...) lub sumą szeregu geometrycznego i piszemy:

S = 0i + a\q + fli^¹ + d\q⁴ +... + a\<f~*+...

Wyrazy ciągu (a_l9 afl, a\(f\ atf⁴... > «i(f~ \...) nazywamy wyrazami szeregu 0i + 0i q + a\q¹ + arf +... + a\<f~*+...

A

Jeżeli szereg d\ + d\q + d\q¹ + a_xq³ +... + a\(f~ *+... ma sumę, to mówimy, że jest zbieżny (do tej sumy). Jeżeli nie ma sumy, to mówimy, że jest rozbieżny.

TWIERDZENIE 2.22_

Jeżeli \q\ < 1, to ciąg (S„) sum częściowych ciągu geometrycznego (szereg geometryczny)

^a\

jest zbieżny i ma sumę S = lim S_n = -—.

*-> co 1 -q

o ta suma róż®

limS„ = lim

ft-»00    K->00

\-_q 1 -q

■q

= lim——lim-*'

= lim-

n-¥to \ — q n-*fD \ — q

lim —1— • lim qⁿ

n-*to J — n n-* oo

a,	(a. i
= -i— -i-0
^1 -q	\^3~q )

■q =

a j

i-ą

(0i - wartość stała, q - wartość stała, (1 - q) - wartość stała różna od zera)

A zatem :

c.n.d.

1

n-**o    1—q

2

Dowód:

3

_ n

Ponieważ \q\ < 1, więc lim qⁿ =0 oraz S_n = a_l ——. Stąd kolejno otrzymujemy:

4

a, -a_xgⁿ _ a_x a_{x n}

" ⁼    ~\-f\-q^q