3226794622

XVI. SZEREGI

1. DEFINICJA I OZNACZENIA

Szereg -¹¹¹ przeniesienie sumy skończonej ilości składników na przypadek nieskończonej ich ilości. Szereg - ^<2' suma nieskończonej ilości wyrazów a_n danego ciągu (a„). co zapisujemy 2n=i ci_u. Szereg - * ciąg (S„) sum częściowych, który traktujemy jako parę uporządkowaną ((a„)\ (S_n )).

Symbol	Znaczenie	Zapis / własność
(«„)	nieskończony ciąg liczbowy: aj. a2. en.....an. ...	(cin) — aj. a2, «.?. ...
a„	n-ty wyraz ciągu (an) lub szeregu l/in; tzw. wyraz ogólny danego ciągu / szeregu	a„ = wz.ór / reguła
lim a,, n—*oo	granica ciągu (a„)	a = lim a,, = lim {«„} II—00 11—00
s„	suma /i-początkowych wyrazów ciągu (an ) lub n-ta suma częściowa szeregu (Sn)= Ha,,	II S„ = ^ a„ = «! + «2 +...+ an n=i
00 I^a« n= 1	szereg liczbowy “ o wyrazach (składnikach) an- to suma nieskończonej ilości wyrazów ciągu (a„)	co 2«--2 ^a>< ^=nl ^+a2 ^+n3 + 11=1
(S„)	szereg liczbowy - to ciąg sum częściowych S„ ciągu (a„)	00 (Sn) = ^ ’ a?i ^= (S1# S2, Sn ,...) n=i
s	suma zbieżnego szeregu liczbowego (S„) (oznaczamy ją tym samym symbolem co szereg) - iest to granica zbieżnego szeregu liczbowego (S„); - ostatnia suma cząstkowa S„ ciągu (an)	00 n S = / an = lim / an = lim S„ / > u—00 / 1 u—00 11=1 n=i
zb.Ł/„	■■■ zbieżny szereg o wyrazach an (itj. składnikach a„)		Sn=i^an	<00 <=> zb.X“=1a„
rb. Ia„	* rozbieżny szereg o wyrazach a„ (tj. składnikach a„)			= 00 <=> rb.2“=1 a„
	szereg złożony tylko ze swoich wyrazów ujemnych albo tylko ze swoich wyrazów dodatnich	zb. ^ an = zb. ^ a,, + zb. ^ ajt

*    Szereg jest zbieżny, jeżeli ma granicę właściwą S (ciąg sum częściowych ma granicę właściwą).

*    Szereg jest rozbieżny, jeżeli nie jest zbieżny (tzn. nie ma granicy lub ma granicę niewłaściwą).

2. RODZAJE ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW

2 i jest zbieżny bezwzględnie (absolutnie) jeżeli: zb. 21 aj 2 «ii jest zbieżny względnie (nieabsolutnie) jeżeli: zb.2a_n A rb.21 aj•

2 ci_u jest zbieżny bezwarunkowo jeżeli dla każdej permutacji o zachodzi: zb. 2 <**(»,) ⁼ zb.2<*„.

2 ci_u jest zbieżny warunkowo jeżeli dla każdej s€ R istnieje taka permutacja o: zb.2 ^{= s} •

Powyższe rodzaje zbieżności powodują zbieżność w zwykłym sensie, np. zb. 21 aj =* zb.2 ^an ■

Pojęcia zbieżności bezwzględnej i bezwarunkowej szeregu pokrywają się dla szeregów liczbowych, ale w nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha (gdzie norma zastępuje wartość bezwzględną) tylko zbieżność absolutna pociąga za sobą zbieżność bezwarunkową szeregu.

© Copyright by Ewa Kędzi orczyk

-87-

w w w. ma tern a tyka.s osnowiec.pl