00098488

III. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Wyrazy ciągu (111.62) nazywamy sumami czuciowymi szeregu (111.63), natomiast

funkcje /i(z),/j(z).....nazywamy wyrazami tego szeregu.

Del Szereg (111.63) zbieżny w zbiorze fl nazywamy bezwzględnie zbieżnym w tym zbiorze, jeżeli dla każdego zeSl zbieżny jest szereg

(ni. w

jm i

Można udowodnić, że zbieżność szeregu (111.64) zapewnia zbieżność szeregu (III.63) w tym samym zbiorze.

Kryterium Wrierstrass*. Jełeli dla każdego n € N i dla każdego z e SI jest spełniona nierównofd i/.(z)| < a_m, przy czym szereg liczbowy £ a, jest zbieżny, to szereg £/»(*) Jest zbieżny w zbiorze SI jednostajnie i bezwzględnie.

DOWÓD tego kryterium pominiemy, gdyż jest on bardzo podobny do dowodu kryterium o tej uiwj nazwie odnotzącego iif do dąfu funkcji zmienne! rzeerywittej (cześć lt tego podręcznika, rozdz. ID. p. 7).

Szereg paskowy

Del Szereg funkcyjny

czyli

a₀+fl,(z-z₀)+aj(z~Zo)^ł+ ... +a,(r-z₀)"+ ...

nazywamy szeregiem potęgowym. Liczby zespolone a₀, a,,... oraz liczba z₀ są tu dane, natomiast z jest zmienną.

Zajmiemy się bliżej strukturą zbioru £i_a wszystkich wartości liczbowych zmiennej z, dla których szereg (IU.65) jest zbieżny.

Utwórzmy zbiór X liczb rzeczywistych, do którego zaliczymy wszystkie liczby lz Zol gdy z eflo i tylko takie, liczby. Zbiór X jest więc zbiorem długości wszystkich odcinków o wspólnym początku z₀ i końcach z eSl_a, nie wykluczając przypadku z = z₀, któiy świadczy o tym, że zbiór X nie jest pusty,    ₍

ZbiórJITjest ograniczony albo nieograniczony,

Dal Promień zbieżności R szeregu (111.65) jest to kres górny zbioru X.

Nie wykluczamy tu przypadku R *= +oo.

Definicję promienia zbieżności szeregu (III.65) można też zanotować tak:

(HL66)

Prowadząc rozumowanie analogiczne do tego, które podaliśmy dla szeregów potęgowych zmiennej rzeczywistej (część II tego podręcznika, rozdz. III, p. 9), dochodzimy do następujących wniosków, dotyczących struktury zbioru ft₀:

1° jeżeli R = 0, to szereg (III.65) jest zbieżny tylko dla z z₀,

2° jeżeli R — +co, to szereg (111.65) jest zbieżny bezwzględnie dla każdego z (na całej płaszczyźnie otwartej),

3° jeżeli 0 < R < + oo, to szereg (111.65) jest zbieżny bezwzględnie dla |z— r₀l < ^R> natomiast jest rozbieżny dla |z—z„i > R; w punktach okręgu \2—z₀\ — R szereg (111.65) może być zarówno zbieżny jak i rozbieżny.

Kolo o środku z₀ i promieniu R nazywamy kołem zbieinoici szeregu (111,65), W przypadku R = O, kolo to wyrodnieje do punktu, natomiast w drugim przypadku krańcowym, gdy R = + co, kołem zbieżności staje się cala płaszczyzna. Przypadki 1°, 2°, 3° są przedstawione schematycznie na rys. III. 10.

Z

Rys. 111.10

0<R<» z’

Zajmiemy się teraz znajdowaniem promienia zbieżności R szeregu potęgowego (111.65). Z podanych tu właściwości l⁰-3° wynika, że promień zbieżności szeregu (111.65) jest zarazem promieniem zbieżności szeregu

(111.67)

a więc szeregu potęgowego zmiennej rzeczywistej |r-r₀| o współczynnikach rzeczywistych jaj. Do badania szeregu (111.67) możemy więc użyć metod poznanych w części II tego podręcznika (rozdz. OK, p. 9). Wynika stąd, że jeżeli istnieje granica (właściwa albo niewłaściwa)

(111.68)

I I

lim - = A

to

0. gdy A= +oo

gdy    0 < A < +co

+oó, gdy    A = 0

(01.69)