00098486

264 m FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONE!

264 m FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONE!

(III 59)

Ł Narysować linie stałego poltncjalu oraz linie prądu, jeżeli potencjał zespolony wynosi a) F(z)-z + 2. W F(i) = z*.

9. Wykazać, że jeżeli:    a) czcić rzeczywista lub h) moduł funkcji holomorficznej /<x) s«

stale w obszarze D, to/(z) « const.

Wskazówka. Skorzystać z warunki} w Cauchy ego-Rlrmaana

7. CIĄGI I SZEREGI FUNKCJI ZESPOLONYCH

Niech SI oznacza pewien niepusty zbiór punktów płaszczyzny Z.

Def. Ciąg funkcyjny {/„(z)} określony w zbiorze SI jest to przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej n dokładnie jednej funkcji /.(z) określonej w tym zbiorze. Zamiast {f_m{z}) piszemy też

/,(*). fi W. -./.W, -

Na przykład

Niech J\z) będzie pewną funkcją określoną w zbiorze S2,

Def. Funkcję f(ź) nazywamy funkcją graniczną ciągu {/.(z)! w zbiorze O, jeżeli dla każdego t > 0 i dla każdego istnieje taka liczba 3, że dla każdego n> b spełniona jest nierówność

I/,(r)-A*)l < *

Jeżeli ciąg {/,(*)} ma w zbiorae SI funkcję graniczną /Iz), to mówimy, że jest on w tym zbiorze zbieżny do tej funkcji i piszemy Mm/-„(z)=/(z)

bądź też

/.W-A*)

Sformalizowana postać definicji zbieżności ciągu {/.(z)} w zbiorze fl jest następująca:

Def.

[r.w ;#]*AAV^    < • ra*»

Warunek (111.59) jest więc spełniony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ustalonego ze SI ciąg liczbowy {/‘.(z)} jest zbieżny.

Podamy teraz określenie jednostajnej zbietnoki ciągu f/.(z)} w zbiorze SI do funkcji granicznej f[z), przy czym dla odróżnienia od zbieżności zwykłej (w sensie definicji (11160)) piszemy w tym przypadku

fM* Ar)

Def.

[/.W ~/fc)] «* /\ \/ A A l/.(z)-/?r)| < «    (Hf.61)

Różnica między zbieżnością zwykłą i jednostajną jest tu taka sama jak w przypadku ciągu funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej, więc nie będziemy jej szczegółowo omawiać. Zwrócimy jedynie uwagę, że prawe strony równoważności (III.60) i (III.61) różnią się tylko kolejnością drugiego i trzeciego kwantyfiknloru. Z podanych definicji wynika, że każdy ciąg jednostajnie zbieżny jest zbieżny, nie nie na odwrót.

Przykład. Wykażemy, że

21

gdzie i/" suplzj. Dla każdego r > 0 istnieje więc taka liczba każdego : g n i dla każdego ir > <1 spełniona jest nierówność

Tw. (o ciągłości funkcji granicznej). Jeżeli

*•    r Ą/.wsc”(ił)

to f[z)eC(Sl).

Uwaga. Symbol C°(Sl) oznacza zbiór wszystkich funkcji f(i) ciągłych w zbiorze SI. Dowód tego twierdzenia przebiega tak samo jak w przypadku ciągu funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej.

Def. Ciąg

(111.62)

lg/.w!

nazywamy szeregiem funkcyjnym.

Szereg funkcyjny (111.62) oznaczamy zwykle symbolem

2^ /".(z)    (III.63)

bądź też

/.(*)+/»(*)+ ... +/.(!)+ ...

Szereg (111.63) nazywamy zbieżnym (Jednostajnie zbieżnym), w pewnym zbiorze, jeżeli ciąg (111.62) jest zbieżny (albo odp. jednostajnie zbieżny) w tym zbiorze. Funkcję graniczną ciągu (111.62) nazywamy sumą szeregu (111.63).