DSC07071 (5)

74

Granico funkcji

pp|g J) fW - ĘP-

• Zadanie 2.11

Narysować wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki;

a)    liro u(x) acc, lim u(x) = 1, u(2) = 0, lim ti(x) = — 1;

L >— OD    -1 |Q"    • 28^1*    *^r“"°0

b)    jim o(x) = c, lim e(x) = 0, funkcja v jest parzysta;

c)    prosta y *= x + 1 jest asymptotą ukośną funkcji z w — oo, prosta y = x - 1 asymptotą ukośną w oo. a prosta x = 0 jest jej asymptotą pionową obustronną;

d)    Gm /(x) = 0, Gm /(x) « 3, lira /(x) = —oo;

r—»    r—1    *—-oo

e)    Gm o(x) == oo, lim o(x) = -oo, Hm y(x) = 1, lim g(x) = 5;

-oo    x ■ ■Q~    »"»0*    *—oo

f)    Gm h(x) = -4. Gm h(x) = oo, Gra h(x) = 4;

g)    Gm p(x) = oo, Gm p(x) * 0, funkcja p jest okresowa i ma okres T = 3;

a—1    '    r—Z

h)    Gm q(x) =4, Gm ą(x) = oo, funkcja q jest nieparzysta;

I) Gm rix) = oo, lim [r(x) — x) = —1, funkcja r jest parzysta.

X—©“    X—oo

Na rysunkach —fragmenty wykresów spełniające poszczególne warunki.

3

Ciągłość funkcji

Przykłady Ciągłość funkcji • Przykład 3.1

Korzystając z definicji Heinego uzasadnić ciągłość podanych funkcji na R : a) /(*) = 2x³-3i+5; b) g(x) = c) -h(x) ■» \Z? + 2; d) p(x) = cos*.

Rozwiązanie

W rozwiązaniach wykorzystamy definicją: funkcja / jest ciągła na R, gdy

A A [Gs.*—**) =>C<ta/c,.)=/(*.))].

Ml fsi) ^{L    J}

a) Mamy pokazać, ie

A A [(i”¹*’") ⁼*CSŁ(^a^-^Sr-⁺⁵)-²*S-³*»⁺⁵)]-

Niech zo będzie dowolną liczbą rzeczywistą oraz niech (x„) będzie dowolnym ciągiem zbieżnym do zo. Wtedy

lim (2xł - 3z_n + 5) - ² {&*»)* - 3/ Um *_n) + lim 5 - 2zJ-3zo + 5.

75