DSC07070 (4)

74 Granice Funkcji

IpSfp

• Zadanie 2.11

Narysować wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki:

a)    lim u(x) = oo, lim u(x) = i* u(2) = 0, lira u(x) = — 1;

b)    fiin_ v{x) = e. Urn r(x) = 0, funkcja o jest parzysta;

c)    prosta y = x+l jest asymptotą ukośną funkcji z w —oo, prosta y = x — 1 asymptotą ukośną w oo, a prosta x = 0 jest jej asymptotą pionową obustronną;

d)    ^ Ern^ /(x) = 0, firn/(x) = 3, Jira^ /(x) = — oo;

«) Jjjm.flC*) = oo, _lim_g(x) = -oo, ^lim^y(x) == 1,    = ⁵*

f)    Em h(x) = -4, lim h(x) = oo, lim h(x) = 4;

g)    p(^x) = oo. Urn p(x) = o, funkcja p jest okresowa i ma okres T = 3;

&)    ^5}9(^x) == oo, funkcja q jest nieparzysta;

0 K^x) = oo, Jfe- (r(x) — x] = -1, funkcja r jest parzysta.

Na rysunkach wskazać fragmenty wykresów spełniające poszczególne warunki.

Ciągłość funkcji

Przykłady Ciągłość funkcji • Przykład 3.1

Korzystając z definicji Heinego uzasadnić ciągłość podanych funkcji na R :

2x4-3

a) /(*) - 2r*-3*+5; b) g(x) = c) h(x) = y/x* + 2; d) p(x) = cos*.

Rozwiązanie

W rozwiązaniach wykorzystamy definicję: funkcja / jest ciągła na R, gdy

lim x_n = xo

a) Mamy pokazać, że

A A [(n-2Ł»^Xn =X°) =» 0^(24-3r_w+s) =2xJ-3zo + 5|]-

*o€t (*„)

Niech zo będzie dowolną liczbą rzeczywistą oraz niech (x„) będzie dowolnym ciągiem zbieżnym do xq. Wtedy

75