DSC07063 (4)

62 Granice funkcji

(łT+5- yr=x)    V(i+*)(■-*)+ </(i-»)»)

a lim —    _    -    " ~    I\

—    *(vó+*)^ł+ </o+*n‘-*>+

lim —---a—-    —: ?

* (1/UT& +</(i+*)(« - *j + yc-^j

.ita    (■+*)-('-4

—7^(1+^+ VF+ *)(' - *>+V<* - «)³j ¹⁺¹⁺¹

* lim

konq»tólfcSiny tutaj ze wzoru o* - 6* = (a - 6) (o* + aft +V) _f z twierdzeń o granicy •urny, iloczynu, ilorazu oraz o granicy plcrwloatka funkcji.

% VTłxt2

c) lim — s lim

= lim *—*oo

*V/^ + 1

= ? = *>•

d) W rozwiązaniu wykorzystamy twierdzenie o granicy funkcji złożonej. Dokonując podstawienia i = l* otrzymamy

,/g-io*    V?-10* _ .. <*-10* .. (t-io)(*³ + iPt-f io^?)

»—»o*    - 1(P    1-10    _ i(p 1-101* -10* " i-oo (t - 10)(t +10)

r + 10t + lO* lO* -MO* +10*

Si 1 + 10 * 10+10 ^{= l5}*

•) Zauważmy najpierw, ze

1 „

lim aicctg — = lim arcctgu a *.

9—0-    X •—-oo

Zatem

lim z* aicctg - = 0 • ir » 0. a—o-    x

f) W rozwiązaniu wykorzystamy definicją funkcji sinus hlperboliczny. Mamy

Sm ^ « Am - 2-rr- ³    , _Iim (_e«_+c-') = i + i = ₂.

»-o ahx i-o c*—c *    *-o    «*-«■*    *—o' _ '

' 2

. l-ato**    (1 -sin z) (i +ainx+iin^ax)

K) Om ■ — = km--— -- -    i

(MZ e-f    ani

_a |_lfn U+dn<)(l + olnx + «in^ag)

»—f    caz(HdBi)    ~

Przykłady

63

lim (^ł ~d"¹*) (* + *mx + sin* x) f-j    cosx(l<fńiz)

cos⁵ * (l + sin X + sin³ *) co*x(l +sinx) ** o- (l +1 +i³)

1 + 1

co*x (l + sinx+sln^ax) (1 +sinx)

■ 0.

h)

1+--7=-yr+o=-i.

— -V#

1 P®® = “5= SP+f) “

• Przykład 2.7

Korzystając z twierdzenia o trzeci) funkcjach uzasadnić podane równości:

a) lim arsin — =' 0: ' *-o x

.. Rfl z?+sihz

b) hm -=-— = 1;

t-»0O Z³ — cos z

c) Urn ^

' x—co Z + 1

U

^d),'^RFT0 ^{= logl2;} ®) «“(*-2)³E(x) = °|

Rozwiązanie

Rozpoczniemy od przypomnienia twierdzenia o trzech funkcjach: jeżeli funkcjo /, g, h spełniają w pewnym sąsiedztwie punktu x₀ nierówności /(x) $ g(x) $ h(x) i skrajne funkcje /, h mają w tym punkcie taką samą granicą p, to również funkcja środkowa g w punkcie xo ma granicą p. Powyższe twierdzenie jest prawdziwe również dU granic właściwych jednostronnych w punkcie oraz w nieskończoności.

a) Dlo każdego x jó 0 mamy -|x| $ xsini £ |x|. Funkcje ograniczające spełniają warunki: iim_j(—|x|) = 0, lirn |z| = 0 . Zatem z twierdzenia o trzech funkcjach wynika, że

lim x sin — = 0.

b) Dla każdej x > 1 spełnione są nierówności

z³ - j _-x³+sinx - x³ + 1

x^d-

x^a + 1 X² — cosx

Funkcje ograniczające spełniają warunki:

lim “TTT

*—00 x² +1

x³+l

Hm -y—-

»~«r -1

Z twierdzenia o trzech funkcjach wynika zatem, że

lim

g^+sinł ^ j X³ — coai