DSC07061 (4)

58

Granice funkcji

ply _a —. oo. ZMlan ta. = 2 ■*“

• Przykład ZA

Uzasadnić, że podane granice nie istnieją:

a) lim 4r:    b) lim sini; c) lim cos z²; d) lim-_r;

'ł-oi⁵ ;*-o* z    *—. j

e) Um£(v/z); f)^Um^e^ainŁc; g) Urn2^ctgz; li) Um sgn (z² - l). Rozwiązanie

W każdym przykładzie wskażemy dwa ciągi zbieżne do granicy właściwej lub niewłaściwej takie, że wartości funkcji na wyrazach tych ciągów będą miały różne granice.

a) Niech x'_m = — oraz z„ = — — dla n € N. Wtedy mamy lim x'_n = O oraz lim z|| = 0. n    n    n—oo    o—oo

Ponadto

. lim ■■■'-'i =lim n =oo «—«« (*«)    »—

•00.

^Um 73ńl I ^lfal (•»*) S

Otrzymaliśmy różne wartości, zatem granica Um X nie istnieje.

*—o x*

i

b) Niech x„ = -L oraz    ■' dla n € N. Wtedy mamy lim z'_n = O oraz

- + 2nir    »-•»

JŁ^Z* - 0. przy czym x'_n > 0. a£> O dla każdego n € N. Ponadto

lim sin— = lim sinnir = lim 0=0

"—w    n—oo

HM

oraz

Przykłady

59

Otrzymaliśmy różne wartości, żńtćm granica lim aln - nie Intnielo _    *—o*    x    '

c) Niech x'„ = JJ+nr oraz z" = x/2n= dla n € N. Wtedy mamy Um x_H

® oo om

Um Xn — Ponadto

n—eo

oraz

Um cm||)? = Um coa( J + nir) = lim 0 = 0 rt-eo >    ' n-oó \2    /

lim ó» (xn)^a = Um co«2nr = Um 1 = 1.

Otrzymaliśmy różne wartości, zatem granica Uro_jcoax^a nie Uinlcje.

d) Niech x'_n — z °™ *n *tI T dla n € N. Wtedy mamy lim x_n -* 0 oraz lim x* « 0.

n    n    n—eo    n—N

^{Po lo}    „ i „ i i i „

lim ¹ ■    ‘I- = lim ■ as = — — u

o—w.-    jr n—eol+e" 1 + co oo

oraz

l + e*

i i i i

lim ---- = "^m , — * TT7 =

n—oo —n ii7>w 1 + e ⁿ 1+ 0

1 + e

Otrzymaliśmy różne wartości, zatem granica lim ■

nie istnieje.

l + e^J

e) Niech x_n = ^2 -    *« = (? + —jtj) dla n € N. Wtedy dla każdej

liczby naturalnej zachodzą nierówności z'_n < 4 oraz x« > 4. Ponadto Jirn^il* = 4 oraz Gm x'ń = 4. Obliczając teraz granice wartości funkcji E (\/x) dla tych ciągów

n—oo

otrzymamy

oraz

Um £

n—eo

IM⁼tej \/(²⁺^^r>)¹] “ JŁ*(^s+jjj|^a -

Um 2= 2.

Ponieważ otrzymaliśmy różne wartości, więc granica Um E (\/*) nie istnieje.

0 Niech *; = -nr oraz x" = -nr + f dla n 6 N. Wtedy mamy Um^ - "« oraz

lim Zn = -oo. Ponadto n—eo

Um e"*"«n2x; = lim e"* ®n(-2nr) = 0

Um

n—eo

e^-?"rin!Łr"= Um e^n!r"⁷*in(-2n*+f)

SOO.