DSC07081 (4)

92

Pochodne funkcji

Ocnynua. gnoić. nic istnie (por6wn.j Przykład 3.4 b)). Funkcj. g nie m. zatem pochodnej w pernker xq = 0. c) Mamy

fc'(0) = firn

lim

x—0    x—o    x — 01

Osiami* równoćć została uzasadniona w Przykładzie 2.7 a). <T) Maanr

p'(0) = lim 2i£l^2ł _{= Um} £W

'    »—<ł x —0 i-o *

— Um xsin — = 0. o x

Tak więc

Um ==* lim — = lim x = 0.

«—o x    *—o x. *-o

Km === Um —— =* lim (-x^a) = 0.

1—0 X    X—O X s—0 '    ⁷

Zatem p'(0) = 0.

Uwagi. Warto zwrócić uwagę na to, że 0 jest jedynym punktem, w którym funkcja p ma puphntfwi Wynika to z faktu, że poza tym punktem funkcja p jest nieciągła.

Przykład 4.2

Korzystając z definicji obUczyć pochodne podanych funkcji:

a) r{x) *= x⁴, gdzie x € R:    b) *(x) = cosx, gdzie x € R;

c) /(*} = gdzie x ^ 0;    d) $(x) = <^5, gdzie x y* 0;

e) h(x) =    gdzie x ^ kx dla k S Z; f) p(x) = e”^x, gdzie x € R.

H)X

Rozwiązania

W tym tcKwiązanżn oprócz definicji pochodnej podanej w poprzednim przykładzie będziemy korzystali z jej równoważnej port ark -_f . W _r . / (xo + Ax) - / (xo)

Ai—O

/ (*o) — jSŁ.—-Ax -'

•) Niech *o€i. Wtedy

»'(*•) ^ K»

rjx) — r(xp) X — xo X⁴-**

Um

x — x© »-»«

= Km

(x - xo) (x +xo) (x* + x5)

Km f(jx + xo) (** + 4)] = 4x5-b) W tym przykładzie wykorzystamy uńmmrM trygonometryczną

o — d . o+/5

Przykłady

oraz równość

Hm

Dla io € R mamy

.'(«)=' Um ;<«»+*«)-«(«■■>

As—0    At

lim

Aa—0

= lim <*»(*<> +A*)-cos(zo)    ~^2shl"T"⁰ (*o +

Az

—1 -sinzb= -sinzo.

Ax-03x= ^I,rn ----- ² '

Az

= — lim

Ar—0

c) Nier.h zo jć 0. Wtedy

/' (lo) = lim tOL-łM

*-»0 Z —Zo 1 1

(z — z₀) (z + Zo)

as

o

= Hm -— = Um _T- - - * , = - Um

*—*0 *-*o    *-». (z-zo)z^azg »-*o (z - zo) z²zi

= — lim

X -ł- ZQ

^f0 x^azg

2X0

7

d) Niech zo jć 0. Wtedy

₉'(*o) a lim ^a(l)~^a(lo)

*o * — *o

(v^“    (^?+yxi5+

¹ — lim    a    .

X-Z0    «—0

(z —zo)    *

= lim -----—r- = lim

= lira

*-'• (*-z₀) (VZ*+ fóZó+ </z|)    ^x"**°

e) W tym przykładzie wykorzystamy tożsamość trygonometryczną

• a „ . O—/?    0 + 0

■ino - Mtnp - 2sin —^—cos—-—

M Um

*—X0 Z — zo

h' (zo)

oraz podaną już w przykładzie a) równość. Niech zo / k* dla każdego k € Z. Wtedy h(x)-r(ho)

1

sinz ~ sinzo _ _Um    siny

- ,!!Sś i-x₀ “ «—*• (^z-xoJ*fnx*inxo

. z —Z0_^* + Xfl

= — lim •—ro

sin—5—cos—^—_    , coszo _ coazo

z —zo . .i ” sfo*zo ®n zo

_ -sin z sinzo