DSC07090 (5)

110

Pochodne funkcji

Następnie

f-_(xs _m trYL*)=

_    (_sin *) (*5*n^2x”^co*^x) +«**** (2 sin x cos x ł- sin x)

*«.« (3słn*cos^x —sfa** + s»nx) = e^<OB* (3sinxco*x + sinxcos³

₌ ^*sinxcc«*(3 + co_8a:).

d} Dla x € R mamy

rw = (v^rr)' -    ⁺*>¹1' - 5 (*^a -    -    - ^rr

rw - [/]'<*> - [* MP§|”^ł 1

= (**+o^_ł+* (-5)    - ⁱ)~ (2-) -    - ■^f⁼rn*

1

Nntfpoie

/"w = [rj'w = [(*’ ^{+ l}>'^ł] “ (-§) <^x’⁺‘)"^ł 2*=-7^715

» Przykład 4.17

■) /(x) = x^3sgn(x),	xo = 0, n — 2;	b) /(*)	-{	1 COS^4 X
				Xq *» 7T
c) /(*) - M^3, *0 -	0, n = 3;	«*) /<*)	|	X^4 sin^4 x
				xq = n
Rozwiązanie s) Masny		f	dla	x < 0,
	/(*) BZ^3sgn(z) *=	1 °	dla	X =s 0,
			dla	x > 0.

Pochodną f{x) dla x / O obliczymy korzystając z reguł różniczkowania. Mamy (-z³)' > -2z dla x < O oraz (z³)* » 2x dla x > 0. Istnienie /'(O) sprawdzamy obliczając porównując pochodne Jednostronne /1(0), /i(0). Mamy

*<o

N u- -**-0    __

Przykłady

111

1—0+

lim zsO, «—o+

Stąd /'(O) = 0. Zatem

A*) =

Tern* obliczymy /2(0), /+(0). Mamy

/"(O) Sf lim ~m m lim

r—0~ x-u    X—0'

-2z dla x < O, O dla x = 0, —2x dla x > 0.

-2s-0

= - lim 2 = -2 K—O".

y^(0) ^ Km LW-fW lim —= lim 2 = 2.

*—o*    Z — O    X—0+ z    *—«♦

Ponieważ fi (fi) £ flifi), więc /"(O) nie istnieje.

b) Pochodną na przedziałach otwartych (—oo.ir), (tt.oo) obliczamy korzystając z reguł różniczkowaniu. Mamy (—l)’ = 0 dla x e (—oo.tt) oraz (cos⁴x) = -4 sin z cos³ z dla x € (ff.oo). Istnionio pochodnej /'(«■) zbadamy porównując pochodno jednostronne /l(rr), /+(*■). Mamy

fM -    ® ^/(r|-^/(,|ia Urn

z - z

=■ lim    _Bm    0+c^u)

■—0“ ii    U

= lim    sin u (1 + cos^au)j = 1 -0*2 = 0.

Podobnie otrzymamy /'(")+ = 0. Zatem /'(«) = 0. Stąd

/<?) =

Zbadamy teraz, czy istnieją drugie pochodne jednostronne w punkcie ir. Mamy

/'(*) —/*(*) *>*    -dnico^i-O

0	dla	x<x.
0	dla	X = T,
—4sinxcos^3 x dla		x>r.

IZM =

lim

*— w*

lim

umx-w ..    4 sin li cos³ u . f. /dnu ₃ \

—— - Inn --= -4 urn ( — •cos ul =s-4-1.1 =-4

u—0+    U    m^O+ X u    / Ba *

Podobnie otrzymamy /!'(*) = 0. Ponieważ /£(*)    więc /*(jrj ńlo Istnieje,

c) Mamy

/(*) = !=

( -x* dla z < 0, - ) 0 dla z a 0, \ x³ dla z > 0.