DSC07095 (6)

120

Pochodne funkcji

• Zadanie 4.7

Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:

a) u(x) = (z^5 - x|, xo = 1;	b) c(x) =	sinx - sgn (x), x0 = 0;
^i o#) = |ctg^3x|ł xb = |;	d) z(x) =	f tgx dla I sinx dla	4 TT *0 = 0 < x < 5*
e)/(x)=|x1|,*o = 0;	f)s(*) =	f *(x-D 1^-1	dla x <l, Xo = l; dla x > 1,
g) h(z) = \smx\, xo = *;	b) pfc) =		^dlB» *0=0. dla x = 0,

• Zadanie 4.8

Znaleźć parametry a.6,c, dla których podane funkcje mają pochodne na R :

	f x+l dla x < 0,		f oe^ł+6e“^r	dla x < 0,
	\ asinx+6cosx dla x > 0;	b) i/(x) =	\ch2x	dla x > 0;
	r dla x<0,	d) ^(x) =	f ae*+ó dla	x < 0,
4/W*	< aanz+bcosz+c dla 0 < x < ir,		i 2—x dla	x > 0.
	ll dla x> x;

•    Zadanie 4,9

71czy podane funkcje mają pochodne niewłaściwe w punkcie xo — 0: a) ufz) = 3- tfr, b) v{x) = tg tfć; c) tc(x) = y/\SnxI;

d) /(i) = yjH+M «) 9fe) =    f*) A(*) = [ i”¹ dj“ * tii

•    Zadanie 4,10

Korzystająca reguł różniczkowania obliczyć pochodne podanych funkcji:

	. v amx
c) 1/ = yarcamfa^1);
.. arcainz	0 0 = (1 + 05)tg(\/x)
•)*» ||	^2-09' 53T7-

• Zadanie 4.11

Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć:

3) (r ¹)'(¥) dla:

0 /(²) = 3 ¹, gdzie z € R;    ii) /(ar) = cos a:, gdzie 0 < z <ir;

iii) /(ar) = thx. gdzie z € R; W) /(ar) = lnx, gdzie x > 0; ^b) 0 (/”²) (^c + I). gdzie /(x) = X + lnx;

'») U'¹/ (Ol gdzie g{x) = cpsar - 3x; iii) (/»"²)'(3), gdzie /i(x) = ^x+ tfx + y¹_;

W) (²“¹)' (4), gdzie fc(x) = ar² + 3¹.

•    Zadanie 4.12

Zakładając, że funkcje / i g mają pochodne właściwe, obliczyć pochodne funkcji:

^a) V = /(²) cos g{x)‘_% b) y ¹ e²^;

c) y = arc tg [/(x)^(x)]; d) y = In (/(z)³ + l) :

«) V - ⁸¹ⁿ [/(¹)<7(¹)] ¹.    0 V = (/(x)]^1(l);

8) ^ ^{1 tg} pjfj^{:    h}) y = /(¹)arctg9(x).

•    Zadanie 4.13

Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartośd podanych wyrażeń:

a) «Tfi05; d) arc cos 0.490; c) g) arc sin 0.51;

b) e¹“;

i

c) ln

2001 2000^;

f) tg44°55';

. 3.98’ h) c~^0iOTm, i) In 0.9993.

1

Zadanie 4.14

a)    Fragment terenu ma kształt trójkąta równoramiennego o boku b = 200m. Kjt przy wierzchołku tego trójkąta, zmierzony z dokładnością 0.01 rad wynosi —. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć pole tego terenu?

b)    Objętość kulki metalowej, wyznaczona z dokładnością 1 cm³, wynosi 3thrcm³. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć średnicę tej kuli?

2

c)    Do sztolni puszczono swobodnie kamień i zmierzono czas jego spadania z dokładnością 0.1 s. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można wyznaczyć głębokość sztolni, jeżeli czas spadania kamienia wyniósł 4.1 s? Przyjąć g = 0.8 m/s⁹.

3

d)    Średnica kuli zmierzona z dokładnością 0.1 mm wynosi 21.7 mm. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć objętość tąj kuli?