DSC07078 (6)

88

Ciągłość funkcji

Zadanie 33    R , * _t. ,    ,

Dobrać parametry o. 6 e R tak, aby podane funkcje były cujgle we wskazanych

punktach:

■) «(*) =

sinx dla |x| > ax + 6 dla |x| <

b) t/(x) =

{

"2' *² =2

.    . , f x²+ax+6 dla |x| < 2,    .    . .

_d„ 1:1,2. o-w-

2    dla x < 0,

a* +6 dla 0 < x < 1,

3    dla x > 1,

ii * &

asinx + 6cosx dla |x| >

1 +tgx

dla |x|<

+]M *14

xj = -2, x₂ = 2;

xj = —7, *2 = T^;

{te dla x < 5r_t

Ip dla *>*. ax

xq = x;

f (*-l)³ dla x<0, g)/i(x)=< ox + 6 dla 0<x l y/x dla x> 1,

4’    4

3 dla x < 1, x + a dla x > 1, xo = 1;

< i

x    dla |x| < 1,

x² + ax + 6 dla |x| > 1,

*i = 0, x₂ = 1:

x\ = —1, x₂ = 1

Zadanie 3.4

Uzasadnić ciągłość podanych funkcji na wskazanych zbiorach:

a) u(x) = c^xcosx, R;

b) v(x)

(-2,2);

c) w(x) = arc tg -/x, [O.oo); d) z(x) =    (J |2Jbr, (2* + l)ff];

kęz

0 s(*) = y/e^z +x², R.

^e)/(l) = RTT- I

Zadanie 3.5

Określić rodzaje nieciągłości podanycłi funkcji we wskazanych punktach:

.) u(x) - |    * e (0.1)U d.oo).    _

13 dla x ss l,

*o-I;

e* +1

c dla x = 0, *0 ^B 0>

Zadania

c) w/(ar) =

e)/(*) = g) h(x) =

f |x| + x	dla x	fff	d) z(x) =	B	dla x < 0, dla x = 0,
1°	dla x	t0, ;		i
				[(i+^1r	dla x > 0,
xo = Ó;				x0 = 0;
	-i)].			x arc tg i	dla x jk 0,
sgn [x(x		xo= 1;	0 s(^s)—	* ^1
				2	dla x = 0,
				x0 = 0;
Mi	j dla	x^0.	h)p(z) =	(‘-“i	dla x ^ 0,
1°	dla	x = 0,		lo	dla x = 0,
H o II O				2 II ©

89

• Zadanie 3.6

Korzystając z twierdzenia Weierstrassa o przyjmowaniu kresów uzasadnić, że podane zagadnienia ekstremalne mają rozwiązania:

a)    wśród stożków wpisanych w kulę o promieniu r istnieje ten, który ma największą objętość;

b)    wśród trójkątów prostokątnych wpisanych w kolo o promieniu r istnieje ten, który ma największy obwód;

c)    wśród prostokątów opisanych na danej elipsie istnieje ten, który ma najmniejsze i największe póle;

d)    wśród prostokątów wpisanych w trójkąt równoboczny o boku a istnieje ten, który ma największe pole (założyć, ze dwa wierzchołki prostokąta należą do ustalonego boku trójkąta);

e)    wśród graniastosłupów prawidłowych o podstawie sześciokątnej wpisanych w kulę o promieniu r istnieje ten, który ma największą objętość;

f¹) wśród ostrosłupów prawidłowych czworokątnych opisanych na kuli o promieniu r istnieje ten, który ma najmniejszą objętość.

a) x³ -ł- Gx — 2 — Ó, (0,1);

c)3^r + 5^x = 9, (1,2);

. , alnx .    /_ w\

e)l = —(o.₅);

b) xsinx = 7, d)x² + lnx = 0,

1

Zadanie 3.7

Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach: