DSC07080 (5)

90 Ciągłość funkcji

g) 3* 11 = 3, (0,1);    H) In* + 2x = I, Q, 1 j;

l)x'“ + x-l = 0, ||||; j)x2^r = 1, (0,1).

Wyznaczyć rozwiązanie równania g) z dokładnością 0.125.

> Zadanie 3.8

Korzystając z twierdzenia Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich uzasadnić następujące stwierdzenia:

a)    na każdym szlaku turystycznym wiodącym z Karpacza (800 m nad poziomem morza) na Śnieżkę (1602 m nad poziomem morza) jest miejsce, które wznosi się 1000 m nad poziomem morza;

b)    w każdym wiek)kącie wypukłym istnieje sieczna, która jednocześnie połowi obwód i połę lego wielokąta;

c)    na dowolnej figurze wypukłej na płaszczyźnie można opisać kwadrat;

d)    jeżeli samochód wyruszył z Wrocławia o godz. 8:00 i jadąc ze zmienną szybkością dotarł do Warszawy o godz. 12:00, a następnego dnia o godzinie 8:00 wyruszył z powrotem i jadąc po tej samej drodze wrócił do Wrocławia o godz. 12.-00, to jest takie miejsce na tej drodze, w którym był o tej samej godzinie zarówno jadąc do Warszawy jak i wracając z powrotem;

e)    jeżeli zegar o północy spóźniał się o 5 min, a po nakręceniu, ale bez przestawiania wskazówek, następnego dnia o północy spieszył się o 10 min, to w pewnej chwili wskazywał właściwy czas;

f*) na Ziemi są dwa miejsca, położone symetrycznie względem jej środka, w których panuje ta sama temperatura;

g*)dowolny wielokąt wypukły można podzielić dwiema prostopadłymi do siebie prostymi na cztery części o jednakowych polach.

4

Pochodne funkcji

Przykłady

Podstawowe pojęcia

• Przykład 4.1

Korzystając z definicji zbadać, czy istnieją pochodne podanych funkcji w ar₀ = 0: a) /(*) -ii|    b)^x)=f| dla x/0,

{ 0 dla x=0;

c) h_W=(-***1 iii d»jp(x)=te5 £

(.0 dla x*0;    l-^dla igO.

Rozwiązanie

Pochodna funkcji / w punkcie zq jest określona wzorem

/■(x_o) Si Hm MzIM.

*—»0; *“*0

a) Mamy

b) Mamy

/-(O) = liniMdi I    Hm |x| = 0.

«—o. x—p *r9 *“0    *-o '

/(O) | Hm 2feLl££21 Km — 1*--° =. Km .to 1.

«—0 X — 0    *—o x—0    *—0 X

91