294 (10)

11. Ciągłość I pochodna funkcji

11.CIĄGŁOŚCI POCHODNAFUNKCJ

a) Określenie pochodnej

W module 11.2.1. jest przedstawiona konstrukcja pochodnej funkcji w punkcie: x₀: / '(.r₀) , gdzie x_Q — to dowolnie ustalony punkt dziedziny D_f. Prowadząc taką konstrukcję w każdym .v_u e D_f, otrzymujemy odwzorowanie /’, które każdemu punktowi ,v₀ przyporządkowuje pochodną funkcji w tym punkcie: .r_D—• /'f.r₀). Na przykład: w przykładzie z funkcją y = x^s mamy: *₀-2-/(x₀)= 12

11.2.2. Pochodna jako funkcja — wzory na pochodne

(3)

v f(^b)-S(^a)

c«=(«;fr)    b-O

w przykładzie z funkcją y = y mamy:

3 -./■•(*.) =-i

Odwzorowanie f' takie, że f'ix -*/'(r);r G D_f. nazywa się pochodną funkcji.

Zatem funkcji y = /(.y) odpowiada nowa funkcja y =/'(x) przyporządkowująca każdemu punktowi .v (w szczególności x = x_Q) wartość pochodnej /' (.v ) (w szczególności f'(.x₀ ) ) w tym punkcie. Na przykład:

3

Cl) y =/(■*) = *\ mamy f '(^xo) = J™'x - x° =

=}imyx² + xx₀ + (x₀)² j = 3xl » ^czV^li (x*)’ = 3 x²

1___1_

(2) y=/(x) = ^ mamy f'(x_Q) = lim ^Xx _ ^ =

=- ^ . |pj O | — gj

W ogólności dziedzina funkcji / i dziedzina jej pochodnej /' to różne zbiory D_f # D_f-Uwaga: Jeżeli pochodna /'jest funkcją różnicz-kowalną, to jej pochodna (/')' jest drugą pochodną funkcji /, oznaczoną przez /"(r).

b)    Oto podstawowe wzory na pochodne (przy stosownych założeniach):

(1)    (x" ^ = nx"~' dla n e R

(2)    (sinjc)' = cosx A (cosx)' = —sinx

(3)    (tgx)' = --— A (ctg*)' =    ~2

cos x    sin x

(4>(«*)’ = «* Ina A (log_ax)' = ~.\_ha

(5)    (c)' = O, /(r) = c— funkcja stała

(6)    (c/(*))’= c f(xy,c e R

c)    Twierdzenia o działaniach arytmetycznych na funkcjach różniczkowalnych (przy stosownych założeniach):

±s(*)J=r(x) ±₈'(x)

(2) [/(■*) '«(*)] =f'(x) ■ g(x) +f(x) ■ g'(x)

f(x) ₌ f'{x)g(x) -f(x)g’(x)

[#(*)]²

d) Pochodna funkcji złożonej (powtórzyć: 2.1.5f): Przy stosownych założeniach:

f'(x) = (z( w(a:))) = z' (w (x)) • w'(x) e) Twierdzenia o funkcjach ciągłych w przedziale domkniętym i różniczkowalnych wewnątrz tego przedziału:

(1) Twierdzenie Lagrange’a (o wartości średniej):

/-ciągła w (a; b) f — różniczkowal-na w (a; b')

Teza twierdzenia oznacza istnienie punktu C = (c;/(c)\ w którym styczna do wykresu funkcji y — /( x) jest równoległa do siecznej AB, gdzie i

A = (a;/(a)) i B = (b;f(b)), zaś — ^2-a^ oraz / '( c ) są współczynnikami kierunkowymi odpowiednio: siecznej i stycznej (por. 11.2.1e.).

(2) Twierdzenie Rolle’a (o wartości średniej):

/ — ciągła w ( a; b )

/ — różniczkowa 1 na w ( a; b ) =* V /' ( c ) = 0 ✓(«)-✓(*) '*⁽“*⁾ Geometrycznie:

Skoro wartości funkcji na końcach przedziału są jednakowe: /(a) =/(/>), to w pewnym punkcie (c) (co najmniej jednym) wewnątrz tego przedziału styczna do wykresu jest równoległa do osi OX(f(c) = O).

Uwaga: Twierdzenie Rolle*a jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Lagrange*a.