290 (9)

11, CIĄGŁOŚCI POCHODNA FUNKU

Zbadaj ciągłość funkcji określonej wzorem:

— 2.x - 8 r + 4	dla	x <-e
-,x^ł- Sx- 14	dla	-6 < .v	<-l
3x — 4	dla	.X >-l
_2	dla		6;-l}

Komentarz	Rozwiązanie
Funkcja /(.t)jest określona w zbiorze liczb rzeczywistych. Jej ciągłość w przedziałach ( — oo; —6), ( — 6; — 1 ), ( — 1: -t-oo) wynika z ciągłości w tych prze-działach odpowiednio funkcji /,(.v) = , /j(.x) = -.x‘ — 8.x — 14, /3(.x) = 3.x — 4. Zbadamy ciągłość funkcji /(r)w punktach = — 6 i Xj=-1	^lirn ./(■*) = — x^2 — Sx — 14^ = —2 /(*.)=/(-*) =“2 (*) (*) =/(-6) =-2 funkcja f(x) jest ciągła w punkcie xl~— 6
	x2=~l lim /(x) = lim— x^2 — 8x — 14^ = —7 lim /"(jc) = lim (3x — 4) = — 7 lim./C*) = lim f(x) = ■* * X--1 = lim/(;c) = —7 #/(-1) =-2 X — — 1 funkcja /(r) nie jest ciągła w punkcie x2 = — 1
Formułujemy odpowiedź.	Odp. Funkcja nie jest ciągła w punkcie x = — 1.

Archimedes (287—212 p.n.e.).

Ojcem jego by! astronom Fi-diasz, który zapewne wpajał synowi od dzieciństwa zamiłowanie do matematyki, mechaniki i astronomii.

Niekiedy Archimedes podawał swoje twierdzenia bez dowodu, pozostawiając matematykom zadowolenie z ich uzasadniania. Chcąc sprawdzić rzeczywistą wiedzę aleksandryjczyków, Archimedes dodawał czasem kilka fałszywych twierdzeń po to, „by tych, którzy twierdzą, że wszystko odkryli i nie podają żadnych dowodów tego, co odkryli, można było na tym przyłapać i zmusić do przyznania, że odkryli rzecz niemożliwą”.

W dziele o ciałach pływających Archimedes sformułował podstawowe prawo hydrostatyki, noszące jego imię, i znalazł położenie stabilnej równowagi prostego odcinka paraboloidy obrotowej. Wyszedł przy tym z oczywistego warunku koniecznego równowagi, polegającego na tym, że środek ciężkości wypartej objętości cieczy i środek ciężkości ciała leżą w jednym pionie.

Archimedes skonstruował między innymi planetarium, w którym można było obserwować fazy księżyca, ruch planet, zaćmienia Słońca i Księżyca. Geniusz Archimedesa jako inżyniera i wynalazcy ujawnił się szczególnie w czasie oblężenia Syrakuz przez Rzymian. Wymyślone przez niego potężne maszyny balistyczne zasypywały Rzymian pociskami kamiennymi i strzałami.

Z prac mechanicznych Archimedesa zuchowata się całkowicie tylko jedna — o równowadze figur płaskich, czyli o środkach ciężkości figur płaskich. W dziele tym Archimedes dowodzi sławnego prawa dźwigni: wielkości są w równowadze, jeśli ich odległości od punktu podparcia są odwrotnie proporcjonalne do ich ciężarów. Prawo to zastosował później do obliczenia nowych pól i objętości. Przypisuje mu się słowa: ..Dajcie mi punkt opurcia — a dźwignę świat**.