60591

Zestaw 10

1.    Nie obliczając pochodnej funkcji określonej wzorem W(2) = (2+ 2) (2 + 1)2(2 —3). Wykazać, że równanie W' (x) = 0 ma dokładnie 3 pierwiast ki. Znaleźć przedziały, w których one się znajdują.

2.    Sprawdzić, że funkcja / (x) = arctg2, 0 < x < 1, spełnia założenia tw. Lagrange’a oraz wyznaczyć liczbę c występującą w tezie tego twierdzenia.

3.    Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji określonych wzorami:

a) f (x) = x ln2,    b) g (2) = x²e~**,    c) h (2) = x>/ax — x² (a > 0).

4.    Napisać wzór Taylora (przy n = 4) dla / (2) = 2(2 - l)^-1 w punkcie 2₀ = 2.

5.    Napisać wzór Maclaurina dla funkcji / (2) = xe*.

6.    Wykazać prawdziwość nierówności:

a)2\/a?>3 —    (2>1),    b)ln(2+l)<2,    (2 > 0) c) 22&rctg2 > ln(1 +2²), 2 € R.

7.    Znaleźć ekstrema funkcji określonych wzorami:

a) / (2) = 2⁴ (2 + l)^-3,    b) g (2) = *2^,    c) h (2) =

8.    Znaleźć najmniejsze i największe wartości funkcji w podanych przedziałach:

a) /(2) = 2⁴ -2x* + 5, 2 € (-2,2)    b) g(x) = arctgj^f, 2 €(0,1).

9.    W elipsę fr + ^ = 1 wpisać prostokąt o największym polu.

10.    Wyznaczyć przedziały wypukłości (ku górze i ku dołowi) funkcji:

a) / (*) = jfrr    *>) g (2) = 2²e"^x,

11.    Znaleźć punkty przegięcia krzywych o równaniach:

-1

a) /(*) = (2³+ 1)(2³- 1)

12. Obliczyć granice (o ile istnieją): a) lim

b) g (2) — 2^c“^x,

c) h (2) = (2    1) cxp (”y) •

c) h (2) ⁼ c^s,nx, 2G (0,f>.

z—-oo^arcc‘R^J'^-T’

d) lim

b) lim 2^X ,

x—0+

e) lim (-rV - -7) •

• _x_0 ' *^,n Z T* >

c) lim (2£^££)^

x-0 ^v *    ⁷

OJtaOg*)*,

o u»(^iaags£.-

13. wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresów funkcji określonych wzorami:

a) / (2) = 2C*,    b) g(x) = 2x + arctgf + f,    c) h (2) = 2 (l + £)^x,    (2 > 0).

14. Zbadać przebieg i narysować wykresy funkcji:

c) h(x) = Insinh2.

a) / (2) = 23e^-x,    b) g (2) = aresin (cos (2 — *)),

n € N.

15. Wykazać prawdziwość wzoru: gfr    = ( —l)ⁿ2 ^n-1e*,