60590

Zestaw 9

1.    Korzystając z definicji obliczyć pochodne funkcji:

a) / (x) = x cos x,    b) g (x) = sin² 3x.

2.    Dana jest funkcja / : R 3 x —» x⁴ — 2x³ + 1 € R. Stosując definicję wykazać, że / jest różniczkowalna w dowolnym punkcie x € R.

3.    Obliczyć pochodne funkcji określonych wzorami:

a) / (x) = ■jxv^l'x³ + sin³ 5x • cos² |,    b) g(t) = (2ł - 1) • >/& • ^3# - 5,

c) h (t) = arcsin (1 — t) + \/21 — <²,    d) u (x) = ln tg | + £arctg j (a / 0),

e)    = i ln |1 + x| - i ln (x² - x + 1) + ^-arctg 2^1,

f) /(x) = ln |x 4- Vx² + a| + c, gdzie a ^ 0, c = const,    g) 7(x) = (l + £)^x ,

h) u (t) — (cos<)“*"*,    i) u(t,x) = ^-exp[-^^]    (a.6.x - stałe).

4.    Znaleźć prędkość i przyspieszenie ruchu określonego równaniem

x (t) = Ac~^kt sin u)t    (.4 > 0. k > 0, oj > 0)

5. Napisać równaie stycznej oraz równanie normalnej do krzywej o równaniu y — lnsinx w punkcie o odciętej *o = }•

C. Zbadać różniczkowalność następujących funkcji:

a) / (ar) = \/x - 1,    b) g (x) = \/(x+ l)²,    c) h (x) = |cosx|,

d) <f>{x) = |x + 3| + |x + 1| + |2x - jt| ,    e) u (t) = arcsin(sint),    f) v (f) = |f³|.

7. Niech

/(*) =

x² dla x < xo ax + b dla x > xq

Jak dobrać współczynniki « i 6. aby funkcja / była ciągła i różniczkowalna w punkcie xq?

8. Zbadać, czy funkcja

/(*) =

x² sin j dla x ^ 0 0    dla x = 0

jest klasy C¹ w R.