DSC07076 (4)

84

Ciągłość funkcji

Rozaifzaak

Wykanyiumy twierdzenie Darboux o miejscach laowych funkcji: jeżeli funkcja jest ciągła na przrdrialr fa.ftj oraz pełnia warunek f(a)/(b) < 0, to istnieje punkt c <= (o, b) taki. że f{c) — 0. Jeżeli przy tym funkcja / jest ściśle monotoniczna. to punkt e jest jedyny. m) Niech

f(x)=4‘-x\

Funkcja / jest ciągła na przedziale f—l.Oj oraz spełnia nierówności

/C-ł) = “<0, /(0)«1>0.

Zatem z twierdzenia Oarbouz wynika, że istnieje liczba c € (—1,0) taka, że /(c) = 0, a to oznacza, że równanie 4* = z³ ma pierwiastek w przedziale (—1,0). Zauważmy teraz, żc funkcje 4^S i —x³ są rosnące na przedziale [—1.0/, zatem także funkcja /(ar) = 4' + (-i^J) jest rosnąca na tym przedziale. Z monotoniczności funkcji / wynika, że równanie 4' = x³ ma dnlrłarłrwr jeden pierwiastek ujemny. Dzieląc teraz na połowę kolejne przedziały, rut knócarh których funkcja / ma wartości różnych znaków, obliczymy pierwiastek równania 4* = x³ x żądaną dokładnością. Dokładność tę osiągniemy, gdy dokonamy n podziałów    {—i.0f. gdzie n jest najmniejszą liczbą naturalną spełniającą nierówność

— $ i Rozwiązując tę nierówność otrzymamy n = 3. Zatem przedział |—1.01

**    O

wystarczy    3 razy. Obliczamy wartość funkcji / w środku przedziału 1,0J, tj.

w yi»ifcr^ xi = —^ - = -j, mamy /    > 0. Funkcja / ma zatem wartości róż

nych znaków na końcach przedziału £—1. — jJ . Następnie obliczamy wartość funkcji / w

środku przedziału |-1. -jj. tj. w punkcie xą ==

/(-!)

= —mamy 4

<0.

Funkcja / ma y«*—» wartości różnych znaków na końcach przedziału    . Po

nieważ przedział sen ma długość 7, więc za rozwiązanie równania z dokładnością 7

'5    ”

wystarczy przyjąć jego środek, tj. liczbę - g = —0,625.

Uwaga. Dokładnym rozwiązaniem równania 4* = x² w przedziale ( — 1,0) jest —0.641185... b) Niech

/(x)=*•-!.

runke;* / Jestd^b u pnedaale    1 j oraz spełnia nierówności

^/(ł)^=yę_2<°' /<«)=«-! >0.

7**"-" z twierdzenia Dsrbowe wynika istnienie punktu c € ( ^. 1 j takiego. że /(c) » 0. Ponieważ hokeje f* oraz -- są rosnące na przedziale 1J, więc ich surna takie jest funkcją rosnącą. Stąd wynika, ze w przedziale    1 j istnieje tylko jedno takie c. Tak

więc równanie C* = ł ms w przedziale (i, I) tylko jedno rozwiązanie.

85

Przykłady

Zatem z twierdzenia Darboux wynika istnienie punktu c € ||, Q takiego, że /(c) = 0.

Ponieważ funkcje ctg* oraz -x są malejące na przedziale ||, więc także ich suma,

tj. funkcja /, jest malejąca. Tak więc równanie ctgx s= x ma dokładnie jedno rozwiązanie w tym przedziale.

c) Rozważmy funkcję

/<*) = *' -3.

Funkcja ta jest ciągła na przedziale [1,2] oraz spełnia nierówności:

/(!) = —2 <0,    /(2) = 1 > 0.

Z twierdzenia Darboux wynika, że równanie x * - 3 = 0 ma rozwiązanie w przedziale (1,2). Ponieważ funkcja / jest rosnąca w tym przedziale, więc rozwiązanie to jest jedyne. Wyznaczymy teraz przybliżoną wartość tego rozwiązania z żądaną dokładnością. Postępujemy podobnie jak w rozwiązaniu przykładu a). Obliczamy wartość funkcji / w środku

Uwaga. Dokładnym rozwiązaniem równania z“ = 3 jest 1.825455....

• Przykład 3.8

Korzystając z twierdzenia Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich uzasadnić następujące stwierdzenia:

a)    pociąg ze Szklarskiej Poręby do Warszawy przyjechał do Wrocławia 5 min przed czasem, a do celu dotarł z 15 min opóźnieniem. Pokazać, że w pewnym miejscu trasy pociąg był zgodnie z rozkładem jazdy. Nie uwzględniać postojów pociągu na trasie i stacjach;

b)    jeżeli na dolnej stacji wyciągu jest bezwietrznie, a na górnej staęji wieje wiatr z prędkością lOm/s, to jadąc wyciągiem do góry natrafimy na miejsce, gdzie wiatr wieje z prędkością 8 m/s;

c)    jeżeli we Wrocławiu i Gdańsku jest temperatura 20° C, a w Bydgoszczy temperatura 25° C, to jadąc z Wrocławia do Gdańska przez Bydgoszcz co najmniej dwukrotnie będziemy w miejscach, w któiych panuje temperatura 22° C;