DSC07072 (5)

76

Ciągłość funkcji

KoraytUJMroy tutaj z twierdzeń o granicy iumy, różnicy ora* Iloczynu ciągów,

b) Mamy pokazać. ze

AA [(.taz.=x.) =» (te.^fT“^rr)]-

Niech *o będzie dowolną liczbą rzeczywistą oraz niech (x„) będzie dowolnym ciągiem zbieżnym do z«. Wtedy

bn ***+³ _Ł    ⁺    _m 2xo-ł-3

•—•o zj + l /    . *J + 1

I Inn x*l + lim I

\«—W /    w—•O

Korzystaliśmy tutaj z twierdzeń o granicy sumy, iloczynu oraz ilorazu ciągów,

c) Mamy pokazać, że

A A f “ *«) ■=*    + 2 s= (xo)⁴ + 2

Niech xo będzie dowolną liczbą rzeczywistą oraz niech (x„) będzie dowolnym ciągiem zbieżnym do xo. Wtedy, korzystając z twierdzeń o granicy ciągów dla potęgi, sumy i pierwiastka, otrzymamy

y_|Uin_#(x_B)⁴ + 2 = 0xo)⁴+ 2,

co należało pokazać,

d) Mamy pokazać, £e

A A

»•€« <»,)

COSI„ = COSXO

)]•

Niech xo będzie dowolną liczbą rzeczywistą oraz mech (x„) będzie dowolnym ciągiem zbieżnym do xo. Pokażemy, że

lim (coaz_a — coazo) — 0.

1 <06

Stąd wynikać będzie żądana równość. Korzystając z tożsamości

„    a-0W&&SB

co* a- co*p = -2 sui —-—sm - -

oraz nkrówncdd Isuńl € |*| otrzymamy

0< Scosżr -coszol = 2|iun    • |aln ""ęg-*⁰,] $2.|—_g ^g-| • L = |x„ - x₀|.

Ostatecznie

0 < (co«x* -coaxo| < |x_n —xo|.

Gdy n—oo, to obie atrony asUtnicj nierówności dążą do 0. Zatem z twierdzenia o trzech ciągach wynika, ie

Um |co#Xn — ccaxo| = 0.

• Przykład 3.2

Wyznaczyć zbiory punktów ciągłości podanych funkcji:

1
»)/(*)-| k-n	dla x = 1;	b) y(x) = E(x);
c)Mx)=|”^inŚ	dla x?«0. dla x = 0;	d)PM_ ĄW , ««n(x-3)*

Rozwiązania

Funkcja / jot ciągła w punkcie xo. jeżeli lin /(z) = / (xo).

•—■e

a) Funkcja / jest określona wzorem:

/<*>

dla x < 1, dla x = 1.

x^ł-x^ł

*-l

dla x > I.

Funkcja / jest ciągła na przedziałach (-00, l), (l,co), bo jest tara funkcją stalą. Ciągłość funkcji w punkcie xo = l zbadamy z definicji Mamy

lim /(*) = — Hm - ■ w - lim x* ■ — 1

Hm /(*) = Hm — *■ - lim x^a = 1.

Zatem lira /(x) nie istnieje, co oznacza. że funkcja / nie jest ciągła w punkcie zo • ł.

b) Funkcja y jest okrtdkma wzorem: y(x) = fc dla k S x < *+1. gdzie k € Z. Funkcja tajeni ciągła na każdym przedziale postaci (k.fc +1), bo jest tam funkcją stałą Ciągłość funkcji w punktach Xo = k, gdzie keZ, zbadamy z definicji Niech punkt k € Z będzie ustalony. Wtedy

*(*)■

Jb-1

Jfc

dla *-I<x<*. dla k$x<k+1, '

Stąd

Hm y(x)S5* lim (*-1) =*(*-1). Hm y(x)££ Inn kmk.

M—k~    ■ a—    »■«**    •““

Zatem funkcja y nie jest ciągła w punktach xo — k, gdzie k € Z. Ostatecznie funkcja y jest ciągła na zbiorze R\Z.

c) Funkcja h jest ciągła na przedziałach (-oo.O). (0,oo), bo jem tara funkcją demen-Umą. Ciągłość funkcji h w punkcie xo = 0 zbadamy korzystając z definicji. Mamy