str028

62

Ciągłość funkcji /₃ wynika 2 inkluzji

(A„ Cl B„) A (.4 n B) C (A„ A .4) U (B„ A B) dla n € N.

Ciągłość funkcji /₃ wynika z inkluzji

(A„ A B_n) A (A A B) C (A„ A A)U(B„ A B) dla n G W.

Ciągłość funkcji f wynika z równości

A„ A A = {X~A_n) A (,Y-A) dlaneN.

131.    Załóżmy najpierw, że v jest ciągła w 0. Zatem dla dowolnego t > 0 istnieje taka S > 0, że jeśli B € 371 i p(B) < 6, to i/(B) < 5. Niech A G OT. Rozważmy zbiory B G OT takie, że p[A,B) < S. Zatem p(A - B) < 6 i p(B - A) <6, a więc v(A — B) < f ii/(J5-A)<

Zauważmy, że

|i/(A) - t/(B)| = |i/(A) - i/(AU B) + i/(AU B) - u(B)|

< i/(Au B) - i/(A) + i/(AU B) - t/(B) = i/(A - B) + i/(B - A) < e.

Zatem 1/ jest ciągła w A, a więc dla dowolnego e > 0 istnieje ó > 0 taka, że dla dowolnego B G OT, jeżeli p(A,B) < 6, to |v{A) — y(B)| < Niech B e OT będzie takim zbiorem, że p(B,0) < 5, czyli p(B) < S. Wtedy p(A, A U E) < S i p(A, A - E) < 5, więc v(A U B) - j/(A) < 5 i i/(A) - v(A - B) < Ponieważ t/(B) = i/(A U B) — y(A - B), więc i/(B) < e, co oznacza ciągłość vw j,

132.    Należy wykazać, że dla dowolnego ciągu {A_n}_ngH takiego, że .4„ G OT dla n G N, A{ n Aj = 0 dla i yt j, i G N, j G N,

U ^Ai) = S^*)-

Ł=1    t=l

Zauważmy, że z warunku 2) wynika równość

(*)    ^(U ^At) = ]Ć^^j4*)⁺K U ^a*)-

k=1    Ł=1    fc=n

Niech B_n = Ur=ri-^t" Ciąg {B„}„_€h jest zstępującym ciągiem zbiorów. Przypuśćmy, że xq G linu._co B_ł, więc x₀ G f|“=i U“=_n ^At = iim_n_*,A_n. Zatem należy do nieskończenie wielu zbiorów ciągu {A_n}_nen> co jest niemożliwe, więc limn—oo B„ = 0. Na podstawie warunku 3) otrzymujemy lim_n—« M(Ut=n 'U) = 0. Stąd i z warunku (*) otrzymujemy, że p jest miarą.

133. Z definicji p wynika, że spełnione są warunki 1) i 2) z zadania 132. Aby udowodnić, że p jest miarą, należy sprawdzić, że zachodzi warunek 3) z zadania 132.

Ponieważ v_n jest miarą dla dowolnego n£K, więc jeżeli {.SiJtgN jest takim zstępującym ciągiem zbiorów należących do DJl, że linn_eo Et = 0, to linu—oo v_n(Ek) — 0 dla n 6 N. Niech będzie dane r > 0. Niech no będzie taką liczbą naturalną, że HrT=n_u    a Lii taką liczbą naturalną, że

dla k > ko, fc € N.

Y'¹ ^n(Ek)    £

2"(1 + u_n(X)) * 2

Z powyższych nierówności wynika, że linn-oo n(Et,) = 0. Wykazaliśmy, że p jest miarą.

Wykażemy teraz, że dla dowolnego n € M, i/„ jest funkcją ciągłą w (151, p). Niech będzie dane s > 0. Połóżmy 6 =    Zauważmy, że jeśli E jest dowolnym

zbiorem z 971 takim, że /((£) < 5, to (;„(£) < £. A zatem v_n jest ciągła w 0, skąd na podstawie zadania 128, u_n jest ciągła.

134.    Niech p(A) = £”₌₁    vn    ^e Rozważmy przestrzeń

(971, p), gdzie p(A,B) = /i(A A B). Przestrzeń (971, p) jest przestrzenią zupełną (patrz zadanie 127). Na podstawie zadania 133 funkcje (/„ są ciągle, zatem funkcja u jest I klasy Baire’a. Zbiór punktów nieciągłości funkcji t/jest więc I kategorii. Istnieje zatem zbiór A G 971 taki, że v jest ciągła w A. Na podstawie . zadania 131 funkcja v jest ciągła w 0. Bezpośrednio z definicji funkcji v wynika,

—TŻe spełnia ona warunki 1) i 2) z zadania 132. Wystarczy zatem wykazać, że jeśli {£.}«rt>Ł zstępującym ciągiem zbiorów takim, że £„ € 971 i lim= 0, to lim_n—coP(En) = 0. Z ciągłości funkcji v w 0 wynika, że dla dowolnego e > 0 ^ istnieje b > 0 taka. że dla .4 6 971, jeśli /ł(.4) < 6, to u(A) < s. Stąd istnieje liczba fco € fi taka, że dla dowolnego k > ko i k £ N, p(Ek) < S, a. więc i/{Et) < e.

Z ostatniej nierówności wobec dowolności £ > 0 otrzymujemy limi-oo (/(£*) = 0. Spełniony jest więc warunek 3) z zadania 132, a więc v jest miarą.

135.    Zbiór A można przedstawić w postaci A = Aj U Aj, gdzie Ai D Aj = 0,

0 < p[Ai), 0 < p(Ąs). Jeżeli/i(Ai) > 6 i/((Aj) > b, to postępowanie to powtarzamy, zastępując zbiór A na przykład zbiorem Ai. Po skończonej ilości takich podziałów otrzymujemy zbiór B\ C A taki, że 0 < p(Bi) < b. Zadanie sprowadza się do zbudowania takiego zbioru Bo C A — B\, aby /((Bo) = b—p(B\). Zbiór ten skonstruujemy ża pomocą indukcji pozaskończonej.

Dla n = 1 został już skonstruowany zbiór Bi. Załóżmy, że dla wszystkich liczb porządkowych /J < a, gdzie a < 12, Q jest najmniejszą nieprzeliczalną liczbą porządkową, zostały już skonstruowane zbiory Bp tak, że U/j<a Ą C A i 0 <    ;

< b i {B₍j)^<o stanowi ciąg zbiorów parami rozłącznych. Wówczas konstruujemy zbiór B_Q tak, aby B„ C A-(Jp<₀ ^BP< ⁰ < P(^so) < b-p([jp_<a Bp).

Jeżeli dla dowolnego a < 1? możemy skonstruować zbiór B₀ taki, że spełnione są powyższe założenia i p(B_a) <b- /((U/3<o ^Bp)< ^to można wówczas skonstruować W analogiczny sposób zbiór Bn i otrzymujemy nierówność p(Up<n Ąj) < b. Otrzymaliśmy więc, że zbiór miary skończonej zawiera nieprzeliczalną ilość rozłącznych / zbiorów miary dodatniej, co jest niemożliwe. Zatem istnieje takie ao < f), że

\