str028

6?

Ciągłość funkcji fn wynika z inkluzji

(A„ Cl B_n) A (.4 D B) C (.4„ A .4) U (B_n A B) dla n £ W.

Ciągłość funkcji /3 wynika z inkluzji

(A„ A B_n) A (4 A fl) C (A_n A .4) U (B„ A B) dian € W.

Ciągłość funkcji / wynika z równości

A_n A A = {X-A_n) A (X - A) dla n £ N.

131.    Załóżmy najpierw, że u jest ciągła w 0. Zatem dla dowolnego s > 0 istnieje taka 6 > 0, że jeśli B £ 5J1 i p(B) < 6, to i/(J3) < t, Niech A £ flJt. Rozważmy zbiory B £ £0t takie, że /j(A, B) < ć. Zatem /i(A - B) < S i p(B - .4) <5, a więc i/(.4 - B) < | i i/(B - A) < §.

Zauważmy, że

K-4) - i/(B)| = |u(A) - u(AUB) + i/(4U B) - u(B)\

<iĄAl)B)- v(A) + i/(.4U B) - v(B) = ĄA - B) + u(B - A) < t.

Zatem u jest ciągła w A, a więc dla dowolnego t > 0 istnieje S > 0 taka, że dla dowolnego B £ £Ut, jeżeli p(A,B) < 6, to |u(A) — u(B)| < Niech E € OT będzie takim zbiorem, że p(E, 0) < 5, czyli p(E) < <5. Wtedy p(A, A U E) < 6 i p(A, A - E) < 6, więc i/(A U E) - u(A) < j i x/(A) - i/(A - E) < Sj. Ponieważ u(E) = v(A U E) — v(A - E), więc u(E) < £, co oznacza ciągłość i/wi.

132.    Należy wykazać, że dla dowolnego ciągu {A„}„_£h takiego, że .4„ 6 101 dla n £ N, At C\Aj =0 dla i j, i £ N, j £ N,

oo    oo

p(U ^Ai) =Z)M^k)-

Ł=1    k = l

Zauważmy, że z warunku 2) wynika równość

W    ^(U-⁴0 =Y,ti^Ak) + l*( U ^Ak)'

ta 1    fc = l    tan

Niech Bn = UfcLn - Ciąg {£«} „_£H jest zstępującym ciągiem zbiorów. Przypuśćmy, że x₀ £ linn_eo Bt, więc i₀ £ lT=i Uk=n ^At = nrn„_«,A„. Zatem xq należy do nieskończenie wielu zbiorów ciągu {A„}„eHi co jest niemożliwe, więc lim_n_oo B_u = 0. Na podstawie warunku 3) otrzymujemy lim„-.co p( Uk=n -^fc) = 0. Stąd i z warunku (*) otrzymujemy, że p jest miarą.

133.    Z definicji p wynika, że spełnione są warunki 1) i 2) z zadania 132. Aby udowodnić, że /a jest miarą, należy sprawdzić, że zachodzi warunek 3) z zadania 132.

Ponieważ i/„ jest miarą dla dowolnego n £ N, więc jeżeli {£i-}jt€H jest takim zstępującym ciągiem zbiorów należących do OT, że lim*_eo Et = ®. to limi,__O0 Vn{Ek) — 0 dla n 6 N. Niech będzie dane s > 0. Niech no będzie taką liczbą naturalną, że < 5. a taką liczbą naturalną, że

dla k > k₀, k S M.

Y'¹ un(Ek) ^£ 2»(l + i/„(-Y))    2

Z powyższych nierówności wynika, że lims__M p(Et) = 0. Wykazaliśmy, że n jest miarą.

Wykażemy teraz, że dla dowolnego n g M, v„ jest funkcją ciągłą w (OT,p). Niech będzie dane s > 0. Połóżmy S =    Zauważmy, że jeśli E jest dowolnym

zbiorem z OT takim, że /i(£) < 6, to i/_n(£) < s. A zatem i/„ jest ciągła w 0, skąd na podstawie zadania 128, v_n jest ciągła.

134.    Niech fi(A) = £“₌₁    'H vu dla ^A 6 Rozważmy przestrzeń

(OT,p), gdzie p(A,B) = p(A A B). Przestrzeń (031, p) jest przestrzenią zupełną (patrz zadanie 127). Na podstawie zadania 133 funkcje t/„ są ciągle, zatem funkcja v jest I klasy Baire’a. Zbiór punktów nieciągłości funkcji v jest więc I kategorii. Istnieje zatem zbiór de® taki, że v jest ciągła w A. Na podstawie . zadania 131 funkcja u jest ciągła w 0. Bezpośrednio z definicji funkcji u wynika, —rie spełnia ona warunki 1) i 2) z zadania 132. Wystarczy zatem wykazać, że jeśli {^n}nesJ^est zstępującym ciągiem zbiorów takim, że E„ £ SR i lim,,™,*, E„ = 0, to linin—co p{ E_n) = 0. Z ciągłości funkcji v w 0 wynika, że dla dowolnego t > 0 ^ istnieje 6 > 0 taka. że dla .4 £ OT, jeśli /i(A) < 5, to i/(A) < £, Stąd istnieje liczba ko £ N taka, że dla dowolnego k > Jb₀ i k £ N, fi(Ek) <6, a więc i/(Et) < e. Z ostatniej nierówności wobec dowolności £ > 0 otrzymujemy limi_!__co i'(Et) = 0. Spełniony jest więc warunek 3) z zadania 132, a więc v jest miarą.

135.    Zbiór A można przedstawić w postaci A = Aj U Aj, gdzie A\ H-Aj = 0, 0 < p(A\), 0 < p{Ai). Jeżeli n{A{) > b i n{Aj) > b, to postępowanie to powtarzamy, zastępując zbiór A na przykład zbiorem Aj. Po skończonej ilości takich podziałów otrzymujemy zbiór Bi C A taki, że 0 < p(Bi) < b. Zadanie sprowadza się do zbudowania takiego zbioru Bo C A-B\, aby p(Bo\ = fc-ji(Bi). Zbiór ten skonstruujemy ża pomocą indukcji pozaskończonej.

Dla n = 1 został już skonstruowany zbiór Bi. Załóżmy, że dla wszystkich liczb porządkowych /} < a, gdzie a < f?, i? jest najmniejszą nieprzeliczalną liczbą porządkową, zostały już skonstruowane zbiory Bp tak, że U/3<a C A i 0 < P(Up<t»£d) < & ‘ {R(j}/S<a etanowi ciąg zbiorów parami rozłącznych. Wówczas konstruujemy zbiór B_a tak, aby B_a C A-(J^<_a Bp, 0 < n(B_a) <    ^Bfi)-

Jeżeli dla dowolnego a < fl możemy skonstruować zbiór B_a taki, że spełnione są powyższe założenia i n(B_a) < &-m(U(3<o ^bp)< ^t0 można wówczas skonstruować W analogiczny sposób zbiór Bn i otrzymujemy nierówność p((jp_<n Bp) < b. Otrzymaliśmy więc, że zbiór miary skończonej zawiera nieprzeliczalną ilość rozłącznych zbiorów miary dodatniej, co jest niemożliwe. Zatem istnieje takie a₀ < ft, że