10 (71)

222

10. Całkowanie form zewnętrznych

Z reguły różniczkowania funkcji złożonej wynika, że

(69)    d(f_T) =    (*)dxj = ££(£,/) (T(x)) (Z)/,) (x)dx_y =

/ 1 •

= I(Dj)(r(x))dt,== (40r

i

Jeżeli'ifa = dy_tiA... ady_ik, to (^)_r = dt_h a ... adt^ i z twierdzenia 10.20 wynika, że

(70)    4(^,)r) = 0.

(W tym miejscu wykorzystujemy założenie, że T jest klasy '#").

Załóżmy teraz, że co = fdy,. Wtedy co_T = f-fx) (dy,)T * przeprowadzone poprzednio rachunki pokazują, że

d(0)_T) = t/(/_r) A (dy,)_T = (df)_TA(dyj)_T = ((df) a dy,)_T = (dco)_T.

Pierwsza z powyższych równości wynika z (63) i (70), druga z (69), trzecia z części b), a ostatnia z definicji <fo. Przypadek ogólny c) wynika ze szczególnego właśnie udowodnionego przez zastosowanie a). To kończy dowód.

Naszym następnym celem jest twierdzenie 10.25. Wynika ono wprost z dwu innych ważnych własności mówiących o zachowaniu się form różniczkowych przy dokonywaniu przekształceń.

10.23. TWIERDZENIE. Załóżmy, że T jest &-odwzorowaniem zbioru otwartego E c R" w zbiór otwarty V e R^m, S jest W-odwzorowaniem zbioru Vw zbiór otwarty We R^p i co jest k-formą na W, zatem oj_s jest k-formą na Vi obydwie formy (oo_s)_Ti to_STsą k-formami na E, gdzie

ST jest zdefiniowane wzorem (ST) (x) = S(T(x)). Wtedy

(71)    (^slj-⁼ tost•

Dowód. Jeśli co i A są formami na W, to z twierdzenia 10.22 wynika, że

((® a ł)j)j- ^ (co_s a ż_s)j = (cOg)j-A (Ag)j- oraz (co a A)jj- = co^j-aA^j-,

Zatem z tego, że (71) zachodzi dla co i A, wynika, że (71) zachodzi również dla co a A. Ponieważ każda forma może być zbudowana z 0-form i 1-form za pomocą operacji dodawania i mnożenia i ponieważ (71) jest trywialne dla 0-form, więc wystarczy dowieść (71) w przypadku co = dz_q, q = 1,..., p. (Punkty zbiorów E, Vi W oznaczamy odpowiednio x, y i z.)

Niech t_u..., t„ będą składowymi odwzorowania T, a s„..., s_p - składowymi S i niech rj,..., r_p będą składowymi odwzorowania ST. Jeśli co = dz_q, to

co_s = ds_ą = Y,(^Di^sn) (y)ty}> j

a więc z reguły różniczkowania funkcji złożonej wynika («_s)r - Y,(DjS,)(T(x))dtj= £(D_Js_q)(T(x))'Z(Ditj)(x)dx_l= £(D,r_q) (x)dx, - dr_q = co_ST.