10 (57)

.208

10. Całkowanie form zewnętrznych

Tutaj /‘jest „kostką jednostkową”, zdefiniowaną nierównościami:

0 x_t < 1    (1 < / < k).

Ponieważ funkcja / może być nieciągła na I^k, więc istnienie całki po prawej stronie wzoru (4) wymaga dowodu. Musimy również dowieść, że całka ta jest niezależna od porządku dokonywania k kolejnych całkowań.

W tym celu niech 0 < 8 < 1 i niech

i

i-t

8

0

(5)

(t < 1—5), (1-5 < t < 1), (1<0.

Określmy

(6)    F(x) = <p(x_i+x₂+...+x_k\f{x) (x e /*).

Wtedy F e ⁽ś{l^k).

Niechy = (xj.....x*_i)>x = (y,x»). Dla dowolnego ye/*"¹ zbiór tych x*, że F(y,x*) ć /(y,

x_k) jest pusty lub jest odcinkiem, którego długość nie przekracza 8. Ponieważ 0 < ę < 1, wynika stąd, że gdzie ||/|| ma to samo znaczenie co w dowddzie twierdzenia 10.2, a F_t_i if_k-i są jak w definicji 10.1.

Jeżeli S-*0, to z (7) otrzymujemyj jako jednostajną granicę ciągu funkcji ciągłych. Zatem/;_ j e #(/*^-1) i dalsze całkowanie nie stanowi problemu. Dowodzi to istnienia całki (4). Ponadto (7) pokazuje, że

(8)    |J F{x)dx—J/(x)</xi < 8\\/%

?    f

Zauważmy, że (8) zachodzi, niezależnie od kolejności w jakiej przeprowadzamy k pojedynczych całkowań. Ponieważ F e #(/*), więc JF nie zależy od takiej kolejności, i (8) pokazuje, że wobec tego także J/od niej nie zależy. To kończy dowód.

Naszym następnym celem będzie wzór na zamianę zmiennych sformułowany w twierdzeniu 10.9. Aby uprościć jego dowód wprowadzimy najpierw tak zwane odwzorowania proste oraz rozkłady jedynki. Odwzorowania proste ułatwią nam otrzymanie jasnego obrazu lokalnego działania odwzorowania klasy o odwracalnej pochodnej, natomiast rozkłady jedynki są bardzo wygodnym narzędziem dającym możliwość wykorzystania lokalnych własności w globalnej sytuacji.